DGL lösen y'=-2xy +x3

Question

Aufgabe:

inhomogenes DGL

y'(x)= -2xy(x)+x³

Problem/Ansatz:

,

Löse gerade einige Mathe Altklausuren und habe diese Aufgabe gefunden.

Es geht um das Lösen des DGL y'(x)= -2xy(x)+x³.

Leider habe ich keinen Ansatz wie man dieses löst.

Würde mich freuen wenn jemand von euch eine Idee hätte :)

Answer 1

Hallo,

Lösung durch Variation der Konstanten:

y'=-2xy +x³ | +2xy

y'+ 2xy =x³

y'+ 2xy =0 homogene DGL via Trennung der Variablen

y' = - 2xy

dy/dx= - 2xy

dy/y= -2x dx

ln|y| = -x²+C

y =C₁ e^(-x²)

C1=C(x)

yp= C(x) e^(-x²)

yp' =C '(x) e^(-x²) - 2x C(x) e^(-x²)

yp und yp' eingesetzt in die DGL:

C'(x)= e^(x²) x³

C(x)= e^(x²)/2 * (x²-1)

y_p= x²/2 -1/2

y=y_h+y_p

Lösung:

y(x) = C₁ e^(-x²) + x²/2 - 1/2