DGL lösen y'=-2xy +x^3

Question

Aufgabe:

inhomogenes DGL

y'(x)= -2xy(x)+x³

Problem/Ansatz:

,

Löse gerade einige Mathe Altklausuren und habe diese Aufgabe gefunden.

Es geht um das Lösen des DGL y'(x)= -2xy(x)+x³.

Leider habe ich keinen Ansatz wie man dieses löst.

Würde mich freuen wenn jemand von euch eine Idee hätte :)

Answer 1

Hallo,

Lösung durch Variation der Konstanten:

y'=-2xy +x^3 | +2xy

y'+ 2xy =x^3

y'+ 2xy =0 homogene DGL via Trennung der Variablen

y' = - 2xy

dy/dx= - 2xy

dy/y= -2x dx

ln|y| = -x^2+C

y =C₁ e^(-x^2)

C1=C(x)

yp= C(x) e^(-x^2)

yp' =C '(x) e^(-x^2) - 2x C(x) e^(-x^2)

yp und yp' eingesetzt in die DGL:

C'(x)= e^(x^2) x^3

C(x)= e^(x^2)/2 * (x^2-1)

y_p= x^2/2 -1/2

y=y_h+y_p

Lösung:

y(x) = C₁ e^(-x^2) + x^2/2 - 1/2