Flächeninhalt zwischen x-Achse und f(x)= x^4-3x^2+2x

Question

Gegeben habe ich folgende Funktion: f(x)= x^4-3x^2+2x  . Nun soll man laut Aufgabe den Flächeninhalt zwischen der x-Achse und der Funktion f(x) berechnen. Ich weiß, dass Ich den Schnittpunkt von der Funktion mit der x-Achse berechnen muss. Jedoch komme ich nicht auf die Nullstellen, eine Substitution und eine Polynomdivision kann man hier doch nicht anwenden. Wie soll man denn dann weiterrechnen?

Das war mein erster Schritt: x^4-3x^2+2x=0         dann      x(x^3-3x+2)=0  x1=0

Dann muss ich ja mit x^3-3x+2=0  weitermachen aber wie forme ich das dann weiter um, damit ich die pq-Formel anwenden kann?? Ich wäre froh, wenn mir das mal jemand erklären könnte.

Answer 1

f(x) = x^4 - 3·x^2 + 2·x = x·(x^3 - 3·x + 2)

F(x) = x^5/5 - x^3 + x^2

Nun suchst du für x^3 - 3·x + 2 die Nullstellen. Eine Wertetabelle zeigt eine einfache Nullstelle bei -2 und eine doppelte bei 1. Daher kann ich den Term recht leicht faktorisieren

x^3 - 3·x + 2 = (x + 2)·(x - 1)^2

Jetzt integrierst du noch zwischen den Nullstellen

∫ (-2 bis 0) f(x) dx = -5.6

∫ (0 bis 1) f(x) dx = 0.2

Die Fläche beträgt also 5.6 + 0.2 = 5.8 FE

Skizze

Comments

Man kann auch nachdem man eine Nullstelle gefunden hat eine Polynomdivision bzw. das Horner Schema durchführen um auf einen Term 2. Grades zu kommen und dann über die pq-Formel weitere Nullstellen zu suchen.

Answer 2

Jetzt musst du eine weitere Nullstelle 'erraten' und dann eine Polynomdivision durchführen.

 x³-3x+2=0                  |x₂=1 ist eine Nullstelle, denn 1^3 -3 + 2 = 0.

Daher ist (x-1) ein Faktor dieses Polynoms.

Also Polynomdivision

(x^3  - 3x + 2 ):(x-1) = x^2 + x -2 

-(x^3 - x^2)

---------------

         x^2 

       -(x^2  -x)

------------------

            -2x

          -(-2x + 2)

----------------------

                       0

x^2 + x -2 = 0         |abc- oder pq-Formel

x_3,4 = 1/2(-1 ± √(1+8))

x₃ = 1

x₄ = -2

Also lautet die Faktorisierung gesamthaft.

f(x) = x ( x-1)^2 (x+2)

Kontrolliere dieses Resultat mit Ausmultiplizieren!

Comments

Danke jetzt kann ich alles besser nachvollziehen. Ich hatte erst damit gerechnet,dass ich hier die Polynomdivision  nicht anwenden darf aber  war doch möglich.

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Bitte. Gern Geschehen!

Polynomdivision darfst du immer anwenden. Du musst einfach eine Nullstelle erraten können. Wenn du keine Nullstelle hast, gibt's einen Rest und du kannst diese Division nicht zum Faktorisieren brauchen.