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folgende Aufgabe kann ich nicht lösen:

f(x)= x^3-3x^2+2x

Zu berechnen ist der Flächeninhalt zwischen 0 und 2.

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Skizze: 

~plot~ x^{3}-3x^{2}+2x;x=0;x=2 ~plot~ 

Schraffiere die gesuchte Fläche. Wonach sieht es aus? Vielleicht kannst du ja die Symmetrie ausnützen und sparst Rechenarbeit (?) 

Wobei handelt es sich denn hierbei? Geht es hier darum die Fläche zu berechnen, also das Integral zu bilden?

Das musst du dem genauen Fragetext entnehmen. 

"der Flächeninhalt zwischen 0 und 2. " ist unterbestimmt.  

3 Antworten

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f(x) = x^3 - 3·x^2 + 2·x = x·(x - 1)·(x - 2)

F(x) = 1/4·x^4 - x^3 + x^2

Nullstellen f(x) = 0

x·(x - 1)·(x - 2) = 0 --> x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = 2

∫ (0 bis 1) f(x) dx = F(1) - F(0) = 1/4 - 0 = 1/4

∫ (1 bis 2) f(x) dx = F(2) - F(1) = 0 - 1/4 = - 1/4

A = 1/4 + |- 1/4| = 1/2

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Hi, berechne $$\int_0^2 x^3-3x^2+2x \ dx$$Tipp: Die Stammfunktion von \(x^3\) ist \(\frac{1}{4} x^4\) und die von \(3x^2\) ist \(x^3\). Was ist die Stammfunktion von \(2x\)?
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Nullstellen berechnen:

        x3 - 3x2 +2x = 0

    ⇔ (x2 - 3x +2)x = 0

    ⇔ (x2 - 3x +2) = 0 oder x = 0

    ⇔ x = -(-3/2) ± √((-3/2)2 - 2)  oder x = 0

    ⇔ x = 3/2 ± √(1/4)  oder x = 0

    ⇔ x = 3/2 ± 1/2  oder x = 0

    ⇔ x = 3/2 + 1/2 oder x = 3/2 - 1/2  oder x = 0

    ⇔ x = 2 oder x = 1  oder x = 0

Die Nullstelle x=1 liegt in dem Intervall, über dem der Flächeninhalt bestimmt werden soll. Also muss abschnittsweise integriert werden:

A = |∫0..1 f(x) dx| + |∫1..2 f(x) dx|

  = |F(1) - F(0)| + |F(2) - F(1)|

wobei F(x) eine beliebige Stammfunktion von f(x) ist.

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