Flächeninhalt zwischen 0 und 2 berechnen. Aufgabe f(x)= x^3-3x^2+2x

Question

folgende Aufgabe kann ich nicht lösen:

f(x)= x^3-3x^2+2x

Zu berechnen ist der Flächeninhalt zwischen 0 und 2.

Comments

Skizze: 

~plot~ x^{3}-3x^{2}+2x;x=0;x=2 ~plot~ 

Schraffiere die gesuchte Fläche. Wonach sieht es aus? Vielleicht kannst du ja die Symmetrie ausnützen und sparst Rechenarbeit (?) 

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Wobei handelt es sich denn hierbei? Geht es hier darum die Fläche zu berechnen, also das Integral zu bilden?

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Das musst du dem genauen Fragetext entnehmen. 

"der Flächeninhalt zwischen 0 und 2. " ist unterbestimmt.  

Answer 1

f(x) = x^3 - 3·x^2 + 2·x = x·(x - 1)·(x - 2)

F(x) = 1/4·x^4 - x^3 + x^2

Nullstellen f(x) = 0

x·(x - 1)·(x - 2) = 0 --> x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = 2

∫ (0 bis 1) f(x) dx = F(1) - F(0) = 1/4 - 0 = 1/4

∫ (1 bis 2) f(x) dx = F(2) - F(1) = 0 - 1/4 = - 1/4

A = 1/4 + |- 1/4| = 1/2

Answer 2

Hi, berechne $$\int_0^2 x^3-3x^2+2x \ dx$$Tipp: Die Stammfunktion von \(x^3\) ist \(\frac{1}{4} x^4\) und die von \(3x^2\) ist \(x^3\). Was ist die Stammfunktion von \(2x\)?

Answer 3

Nullstellen berechnen:

        x³ - 3x² +2x = 0

    ⇔ (x² - 3x +2)x = 0

    ⇔ (x² - 3x +2) = 0 oder x = 0

    ⇔ x = -(-3/2) ± √((-3/2)² - 2)  oder x = 0

    ⇔ x = 3/2 ± √(1/4)  oder x = 0

    ⇔ x = 3/2 ± 1/2  oder x = 0

    ⇔ x = 3/2 + 1/2 oder x = 3/2 - 1/2  oder x = 0

    ⇔ x = 2 oder x = 1  oder x = 0

Die Nullstelle x=1 liegt in dem Intervall, über dem der Flächeninhalt bestimmt werden soll. Also muss abschnittsweise integriert werden:

A = |∫_0..1 f(x) dx| + |∫_1..2 f(x) dx|

  = |F(1) - F(0)| + |F(2) - F(1)|

wobei F(x) eine beliebige Stammfunktion von f(x) ist.