ich kann folgende Aufgabe nicht lösen:
Matrix: * =
(1) (4) (7) (4)
X
(2) (5) (8) (5)
Ich hoffe man kann erkennen, was ich meine. Matrix A mit den Werten (1,4,2,5) wird multipliziert mit X. Rechts neben dem Gleichheitszeichen steht die Matrix mit den Werten: (7,4,8,5). Ich würde mich freuen, wenn man mir bei dieser Aufgabe helfen könnte un dbedanke mich schon mal im Voraus.
Ist es denn formal korrekt, diese 4 Gleichungen nur so aufzustellen? Gibt es keinen anderen Weg diese Matrix ohne das Einsetzungsverfahren zu lösen?
Das ist formal korrekt so.
Du kannst auch die Inverse von
$$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} $$
bestimmen und dann \(X\) durch
$$X= A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 8 & 5 \end{pmatrix} $$
berechnen.
lauten die gleichungen:
1+x11+4+x21=7
1*x12+4*x22=4
2*x11+5*x21= 8
2*x12+5*x22=5
???
Ja, korrekt.
ich komm da jetzt irgendwie nicht weiter. Ich kann doch das Gleichungssystem in Matrixform bringen und dann die Matrix lösen. Ich habe aber eine Matrix mit 4 zeilen und 3 Spalten. Wie gehe ich vor?
Das Gleichungssystem in Matrixform ist ja die Gleichung aus der Aufgabenstellung. Du hast hier keine Matrix mit 4 Zeilen und 3 Spalten. Dazu müsstest du sowas haben wie
$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ a_{41} & a_{42} \end{pmatrix} \cdot (x_1 \ x_2)^t = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \ b_4 \end{pmatrix} $$
Ich vermute mal, dass du sowas meinst.
Was du tun musst ist folgendes: Mit \(x_{11}+4x_{21}=7\) und \(2x_{11}+5x_{21}=8\) kannst du \(x_{11}\) und \(x_{21}\) bestimmen. Mit den anderen beiden Gleichung die anderen Unbekannten bestimmen.
(Oder halt die Inverse von A bestimmen)
kann ich nicht einfach die zwei Zeilen addieren? Denn da steht jeweils 2x x11 etc. Und wie löse ich diese Aufagabe mit der Inverse?
Woher weiß ich denn, dass die erste Matrix A ist und nicht die zweite. Ich weiß, dass folgende Formel gilt: A*A^-1= Einheitsmatrix. Wenn ich die Inverse von A berechne und Sie * A nehme, dann habe ich durch nur die Einheitsmatrix und nicht die ganzen x-Werte.
Du kannst die zweite Gleichung minus zwei mal die erste Gleichung rechnen. Dann erhältst du \(-3x_{21}=-6\). Somit ist \(x_{21}=2\) und folglich \(x_{11}=-1\).
Was meinst du mit erste und zweite Matrix. Du kannst dir ja selbst aussuchen wie du deine Matrizen nennst.
Schau mal in meinem Beitrag bevor du die ganzen Gleichungen aufgeschrieben hast. Da steht \(X=A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 8 & 5 \end{pmatrix}\) mit \(A=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\). Du musst also die Inverse bestimmen und die rechte Seite ausrechnen. Dann hast du dein \(X\) sofort. Für die Inverse einer \(2 \times 2\)-Matrix habt ihr sogar bestimmt eine Formel oder? Wenn nicht, habt ihr ein Verfahren wie man die Inverse einer Matrix bestimmt denke ich.
[1,4,7,4][2,5,8,5]
2*I - II
[1,4,7,4][0, 3, 6, 3]
3*I - 4*II
[3, 0, -3, 0][0, 3, 6, 3]
Normieren
[1, 0, -1, 0][0, 1, 2, 1]
Kontrolle
[1, 4; 2, 5]·[-1, 0; 2, 1] = [7, 4; 8, 5]
Schaut gut aus.
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