Absolutwert(x)=0 => x=0

Question

Aufgabe:

a) x∈R Man muss beweisen, dass wenn der Absolutwert von x gleich 0 ist, x somit auch 0 sein muss.

b) x,y∈R Man muss beweisen, dass der Absolutwert des Produktes x*y gleich dem Produkt vom Absolutwert x * den Absolutwert y ist.

Problem/Ansatz:

Mir ist bewusst, dass beide Aussagen wahr sind, aber ich habe momentan noch sehr mühe damit Beweise aufzustellen.

Answer 1

|a|=a für a≥0 und |a|=-a für a<0 gilt laut Definition.

a)

Voraussetzung: |x|=0.

Zu zeigen: x=0

Widerspruchsbeweis:

Annahme

 1)   x>0

|x|=x>0 Widerspruch zur Voraussetzung!

 2)   x<0

|x|=-x>0 Ebenfalls ein Widerspruch.

Also x=0.

b)

Hier würde ich unterscheiden, ob x und y positiv oder negativ oder gleich Null sind.

1) x<0; y> 0 → x*y<0

|x*y|=-(x*y)=-x*y

|x|*|y|=(-x)*y=-x*y

2) ...

:-)

PS: Ohne Gewähr!