In welchen Punkten besitzt der Graph der Funktion f waagerechte Tangenten?

Question

Aufgabe:

In welchen Punkten besitzt der Graph der Funktion f waagerechte Tangenten?

a) f(x)=x*e^x

b) f(x)=x*e^2x+1

Problem/Ansatz:

ich bin mir unsicher wie ich die waagerechte Tangente berechne. Die Formel lautet ja y=mx+b.

Wenn ich die erste Ableitung mache bzw. diese Null setze um den Extrempunkt zu berechnen, habe ich dann die Werte/Punkte die ich dann in diese Formel (y=mx+b) setze und bekomme dann die waagerechte Tangente?

Für a) hätte ich dann den Lösungsansatz y=x-0,368

Bin mir aber überhaupt nicht sicher :S

Vielen Dank im Voraus!!

Answer 1

ich bin mir unsicher wie ich die waagerechte Tangente berechne. Die Formel lautet ja y=mx+b.

Lies dir genau die Fragestellung durch: "In welchen Punkten besitzt der Graph der Funktion f waagerechte Tangenten?"

Es ist hier ganz klar nach Punkten gefragt und nicht nach einer Tangentengleichung.

a)

f(x) = x·e^x

f'(x) = e^x·(x + 1) = 0 → x = -1

f(-1) = -1/e → (-1 | -1/e)

b)

f(x) = x·e^(2·x + 1)

f'(x) = e^(2·x + 1)·(2·x + 1) = 0 → x = -0.5

f(-0.5) = -0.5 → (-0.5 | -0.5)

Skizze:

~plot~ x*e^x;x*e^(2*x+1);[[-4|4|-3|3]] ~plot~

Answer 2

Aloha :)

Die Tangente soll waagerecht sein, also die Steigung \(0\) haben. Das explizite Berechnen der Tangentengleichung ist also gar nicht nötig. Du musst einfach nur die erste Ableitung gleich \(0\) setzen und die erhaltene Gleichung lösen.

$$f_a'(x)=\left(\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{e^x}_{v}\right)'=\underbrace{1}_{u'}\cdot \underbrace{e^x}_{v}+\underbrace{x}_{u}\cdot \underbrace{e^x}_{v'}=(x+1)e^x$$Diese Ableitung wird nur für \(x=-1\) zu Null, also liegt dort eine waagerechte Tangente.

$$f_b'(x)=\left(\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{e^{2x+1}}_{v}\right)'=\underbrace{1}_{u'}\cdot \underbrace{e^{2x+1}}_{v}+\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{ \overbrace{e^{2x+1}}^{\text{äußere}}\cdot\overbrace{2}^{\text{innere}}}_{v'}=(2x+1)e^{2x+1}$$Diese Ableitung wird nur für \(x=-\frac{1}{2}\) zu Null, also liegt dort eine waagerechte Tangente.

Answer 3

Zweimal wurde fast alles gesagt,

Für x = − ∞  wird f'(x) =0 aber -∞ ∉ℝ

Darum gab es immer nur eine Lösung.