Aloha :)
Wir wandeln zunächst die Zahl in der Klammer in Polarschreibwese um:$$z=-1-9i$$$$\left|z\right|=\sqrt{1^2+(-9)^2}=\sqrt{82}$$$$\varphi=\arctan\left(\frac{\mathrm{Im}}{\mathrm {Re}}\right)=\arctan\left(\frac{-9}{-1}\right)=\arctan(9)+\pi$$
Damit können wir nun die Zahl wie folgt schreiben:$$z^8=(-1-9i)^8=\left(\sqrt{82}\cdot e^{i(\arctan(9)+\pi)}\right)^8=(\sqrt{82})^8\cdot e^{i\,8(\arctan(9)+\pi)}$$Wir lesen den Betrag ab:$$\left|z^8\right|=(\sqrt{82})^8=\boxed{82^4=45\,212\,176}$$und beachten beim Winkel, dass wir ihn auf das Intervall \([0;2\pi]\) runterrechnen müssen:
$$\varphi=(8\left(\arctan(9)+\pi)\right)\operatorname{mod}2\pi=(8\arctan(9))\operatorname{mod}2\pi\approx5,397928$$Dieses \(\operatorname{mod}2\pi\) bedeutet, dass du vom Ergebnis so lange \(2\pi\) subtrahieren musst, bis ein Wert zwischen \(0\) und \(2\pi\) übrig bleibt. wir rechnen das Argument noch in Grad um:$$\varphi=5,397928\cdot\frac{180}{\pi}=\boxed{309,2785^\circ}\;\widehat=\;\boxed{-50,7215}$$Falls ihr in der Vorlesung das Argument zwischen \(0\) und \(360\) Grad angebt, musst du den positiven Winkel angeben, wenn ihr das Argument zwischen \(-180\) und \(180\) Grad angebt, müsst du den negativen Wert als Lösung angeben.
