Berechnen Sie das Argument der Zahl z .

Question

kann mir da jemand bitte weiterhelfen? (arg z)

also ich hab 8*arctan (9) rausbekommen aber woher soll ich wissen, wie viele Pi ich noch dazuzählen muss um zum "echten" Winkel zu kommen?

Text erkannt:

Gegeben ist die komplexe Zahl $z=(-1-9 \mathrm{i})^{8} .$ Berechnen Sie den Betrag und das Argument der Zahl $z$.
$|z|=\sqrt{\operatorname{sqr}\left(82^{\wedge} 8\right)}$
$\mathbb{Q}$
$\arg z=$
$\mathbb{Q}$

Answer 1

Berechne das Argument von -1-9i (III. Quadrant).

Multipliziere das Ergebnis mit 8.

Dann n*2pi subtrahieren, bis du zwischen 0 und 2pi angekommen bist.

Comments

woher weiß ich ohne Taschenrechner ob ich zwischen 0 und 2 Pi bin?

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Ohne Taschenrechner bekomme ich nicht einmal das Argument von -1-9i heraus.

:-)

Answer 2

|z| = √(1² + 9²)⁸ = 45212176

arg(z) = 8·(ATAN(- 9/(-1)) + pi) - 5*2pi = 5.397927537

Answer 3

Aloha :)

Wir wandeln zunächst die Zahl in der Klammer in Polarschreibwese um:$$z=-1-9i$$$$\left|z\right|=\sqrt{1^2+(-9)^2}=\sqrt{82}$$$$\varphi=\arctan\left(\frac{\mathrm{Im}}{\mathrm {Re}}\right)=\arctan\left(\frac{-9}{-1}\right)=\arctan(9)+\pi$$

Damit können wir nun die Zahl wie folgt schreiben:$$z^8=(-1-9i)^8=\left(\sqrt{82}\cdot e^{i(\arctan(9)+\pi)}\right)^8=(\sqrt{82})^8\cdot e^{i\,8(\arctan(9)+\pi)}$$Wir lesen den Betrag ab:$$\left|z^8\right|=(\sqrt{82})^8=\boxed{82^4=45\,212\,176}$$und beachten beim Winkel, dass wir ihn auf das Intervall $[0;2\pi]$ runterrechnen müssen:

$$\varphi=(8\left(\arctan(9)+\pi)\right)\operatorname{mod}2\pi=(8\arctan(9))\operatorname{mod}2\pi\approx5,397928$$Dieses $\operatorname{mod}2\pi$ bedeutet, dass du vom Ergebnis so lange $2\pi$ subtrahieren musst, bis ein Wert zwischen $0$ und $2\pi$ übrig bleibt. wir rechnen das Argument noch in Grad um:$$\varphi=5,397928\cdot\frac{180}{\pi}=\boxed{309,2785^\circ}\;\widehat=\;\boxed{-50,7215}$$Falls ihr in der Vorlesung das Argument zwischen $0$ und $360$ Grad angebt, musst du den positiven Winkel angeben, wenn ihr das Argument zwischen $-180$ und $180$ Grad angebt, müsst du den negativen Wert als Lösung angeben.