Ist die Stelle x=4 unstetig?

Question

Ich brauche eure Hilfe bei diesen Aufgaben! Das ist dass neue Thema in der Schule und bin noch nicht so gut darin :). Seid mir also bitte nicht böse, wenn ich öfters Fragen stelle. Ich bedanke mich schon mal im Voraus!

Die Aufgabe:

Eine Postkutsche aus San Franzisko, die jede Woche einmal in dem kleinen Ort Big Stone anhält, um die Pferde zu wechseln, gerät eines Tages in Schwierigkeiten. Die Straße in der Nähe von Big Stone verläuft über den Andreas-Graben, der die Grenze zwischen der pazifischen und der nordamerikanischen Kontinentalplatte bildet. Eine ruckartige Bewegung der Platte durchtrennt die Straße und verschiebt einen Straßenabschnitt um mehrere Meter.

Die Straße ist nun an der Stelle x=4 unterbrochen. Sie hat einen Sprung. Die Postkutsche kann ihren Weg nicht mehr fortsetzen. Der Graf der Funktion f, die den Verlauf beschreibt, setzt sich nun aus zwei Stücken zusammen, die nicht ineinander übergehen. Weise rechnerisch nach, dass f an der Stelle x=4 unstetig ist.

f(x) = { f1(x) = 0,25x + 3    für x < 4, f2(x) = -0,25x² + 3x - 3    für ≥ 4 }

Answer 1

Ist \(f(x)\) an der Stelle \(x=4\) stetig?
Wir gucken uns den linksseitigen und rechtsseitigen Limes \(\lim_{x\to 4^-}\) und \(\lim_{x\to 4^+}\)an, die sich jeweils von links oder rechts an den Wert \(4\) annähern. Wenn diese beiden Grenzwerte verschieden sind, muss \(f\) an der Stelle unstetig gewesen sein. $$\lim_{x\to 4^-} f(x)= \lim_{x\to 4^-} 0,25x+3=4\\\lim_{x\to 4^+} f(x)= \lim_{x\to 4^+} -0,25x^2+3x-3=5$$ Also \(4\neq 5 \) und demnach ist \(f(x)\) an der Stelle \(x=4\) nicht stetig.

Comments

Hast du das mit dem hier gemacht?
f1(x0) = f2 (x0)

f1 (x0) ≠ f2 (x0)
Das erste gilt wenn sie stetig ist und das zweite wenn die unstetig ist

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Ja, ich habe die zu untersuchende Stelle in die Funktion eingesetzt und mich von links bzw. rechts an den Wert 4 angenähert, was man mit dem Ausdruck \(\lim_{x\to 4^-}\) und \(\lim_{x\to 4^+}\) darstellt. Dabei konnte ich feststellen, dass beide Funktionswerte verschieden sind. Deshalb weiß ich nun, dass die Funktion an der Stelle nicht stetig ist!

Answer 2

Hallo

eine Funktion ist sicher unstetig, wenn der Wert f(x) für x gegen 4 von links und von rechts verschieden ist. rechne also f1(4) aus und f2(4)

da f1(4) nicht definiert ist schreibst du f1(x) strebt gegen 4 für x gegen 4, oder benutz die Schreiweise mit lim wenn ihr die hattet.

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Und was ist damit?

f1(x0) = f2 (x0)

f1 (x0) ≠ f2 (x0)

Geht das auch damit, wenn ja wie ?

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Das erste gilt wenn sie stetig ist und das zweite wenn die unstetig ist

Answer 3

Es ist  lim (0,25x + 3) für x gegen 4 gleich 4

und lim ( -0,25x² + 3x - 3) für x gegen 4 gleich 5

also sind der rechts- und der linksseitige Grenzwert

an dieser Stelle verschieden ==>

f ist bei x=4 nicht stetig.

Comments

Hast du das mit dem hier gemacht?

f1(x0) = f2 (x0)

f1 (x0) ≠ f2 (x0)

Das erste gilt wenn sie stetig ist und das zweite wenn die unstetig ist