Wieso ist f(x)=[x] an der Stelle x=5 unstetig?

Question

Ist die Funktion f(x) an der Stelle x_(0) stetig oder unstetig?

Die zu untersuchende Funktion und die Stelle x_(0)
$$f(x)=\left[ x \right] ;\quad { x }_{ 0 }=5$$

Für die Stetigkeit gilt gemäss meiner Formelsammlung:

$$f(x)=\left[ x \right] ;\quad { x }_{ 0 }=5\\ -------------\\ f(x)=\left[ x \right] \\ f({ x }_{ 0 })=f(5)=\left[ 5 \right] \quad \\ -------------\\ \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ \quad f(x)=f({ x }_{ 0 }) } \\ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \quad \left[ x \right] =\left[ 5 \right] \quad  } \\ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \quad \left[ 5 \right] -\left[ 5 \right] =0\quad  } $$

Das sollte ja eine wahre Aussage sein und deswegen stetig. Aber in der Lösung steht "unstetig".

Answer 1

deine drittletzte Zeile ist falsch, wenn du die so hinschreibst gehst du

schon davon aus, dass deine Funktion stetig ist, obwohl du das noch gar nicht 

weißt.

Die Funktion ist unstetig, da "Sprünge" auftreten.

Auch hier kannst du am besten mit dem Folgenkriterium arbeiten,

finde einfach zwei verschiedene Folgen 

_an und b_n mit lim n --> ∞ a_n = lim n --> ∞ b_n

aber  lim n --> ∞ f(a_n)≠lim n --> ∞ f(b_n)

Probiers mal mit a_n = 5-1/n und b_n =5+1/n

Comments

Ok

ich habe aus dem Buch nicht erkannt dass es Sprünge hat, weil die Funktion in eckigen Klammern geschrieben stand, weiter sind zwei andere aufgaben gemäss Lösung "stetig" welche auch in genau den gleichen Eckigen Klammern steht. 

y=[x-1]; x_(0)=2.5 (stetig, obwohl gleiche Klammern stehen)

y=[cosx]; x_(0)=0 (auch stetig obwohl gleiche Klammern wie bei der Aufgabe in der Fragestellung)

Was ist die Voraussetzung für das Folgekriterium zu lernen (Folgen und Reihen?) 

Und wenn ich vor der drittletzten Zeile "Es gilt..." Oder "Bedingung für Stetigkeit:" geschrieben hätte, wäre es immernoch falsch Gewesen ?

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Ja, die Bedingung für Stetigkeit kannst du natürlich erstmal aufschreiben.

Um zu zeigen, dass die Bedingung erfüllt ist gehst du von der linken Seite

lim x --> x0 f(x) aus und überführst mithilfe von legalen Rechenschritten zu f(x0)

(falls möglich). Um die Stetigkeit zu widerlegen reicht es Gegenbeispiele zu finden.

Beachte: Eine Funktion heißt stetig, wenn sie in allen x ∈ D setig ist.

Die Aufrundungsfunktion f(x) = [x] ist in allen Stellen x ∈ ℤ unsteig, in allen anderen Stellen jedoch stetig.

Das ist auch der Grund, weshalb [x] in x0=5 unstetig, [x-1] in x0=2.5 jedoch stetig 

(weil 2.5-1 = 1.5 ∉ ℤ) 

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IOkay ja mit meiner drittletzten Zeile hab ich bereits gesagt dass 

lim (x--->xo) f(x) = f(xo) 

wahr ist. 

Oder, deswegen hast du gesagt meine drittletzte Zeile sei falsch?

Jetz verstehe ich es, was mit diesen Funktionen gemeint ist, 

Unstetig wenn x Element von Ganzenzahlen

Stetig wenn x ∈ ℝ \ {ℤ} oder? 

Also stetig wenn x kein Element von Z

Answer 2

https://de.wikipedia.org/wiki/Abrundungsfunktion_und_Aufrundungsfunktion

Comments

Mega komisch, in meinem Buch ist es als eine Klammer, die oben und unten geschlossen ist angegeben, aber gemäss Wikipedia ist es schon eine solche Funktion. :-/

Was kannst du aber generell über meine Rechnung sagen, ich bin davon ausgegangen dass die Funktion  y = (x) gemeint  ist. 

Ich übe gerade Stetigkeit und Differeinzierbarkeit und für mich ist wichtig, ob ich richtig gerechnet habe unter berücksichtigung dass die Funktion f(x)=x wäre.