Grenzwert Funktion unstetig

Question

Aufgabe:

Im Folgenden verstehe ich nicht ganz, warum folgender Grenzwert nicht existiert und wie ich das mathematisch zeigen kann:

$$\lim\limits_{x\to\ 1^-}sin\frac{5}{x-1}$$

Danke für die Hilfe.

Answer 1

wenn das x nahe bei 1 ist , ist 5 / ( x-1) immer ein recht großer Wert ,

für x gegen 1 geht das ja gegen unendlich.

Wenn du es so einrichtest, dass dieser große Wert alle Werte von pi/2 + n*pi

durch läuft, dann bekommst du immer abwechseln beim

sin von diesem Wert +1 und -1 und eine solche Folge hat keinen

Grenzwert. Damit du diese Werte durchläufst löst du

5 / (x-1) =  pi/2 + n*pi nach x auf und wählst

das als Folge x_n die gegen 1 konvergiert ,

aber die Folge der Funktionswerte konvergiert nicht.

Answer 2

warum folgender Grenzwert nicht existiert

Für \(x\to 1^-\) gilt \(a\coloneqq\frac{5}{x-1}\to -\infty \).

Der Grenzwert \(\lim\limits_{a\to-\infty}\sin a\) existiert nicht. Grund dafür ist, dass es für jedes \(x_0\in \mathbb{R}\) zwei Zahlen \(x_2<x_1<x_0\) gibt, so dass \(|\sin x_2  -\sin x_1| = 2\) ist.