Hauptachsentransformation Matrix erzeugen

Question

Hallo,

die Aufgabe lautet:

Sei folgende Quadrik gegeben:

x₁² + 2x₂² - 2x₃² + 2x₁x₂ + 2x₂x₃ + 4x₁x₃ + 2x₁ + 1x₂ + 1x₃ + 0,5

Die Matrix die ich aufgestellt habe sieht folgendermaßen aus:

$$ A = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{matrix} \right) $$

Stimmt diese so?

Comments

Berechne doch einfach x^T A x, oder kannst du das nicht?

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Dafür muss ich ja trotzdem die Matrix erstmal aufstellen.

Answer 1

Aloha :)

Um zu schauen, ob die Matrix passt, rechnen wir nach:$$\phantom{=}\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\1 & 2 & 1\\2 & 1 &-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{pmatrix}\left(x_1\begin{pmatrix}1 \\1 \\2\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\right)$$$$=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{pmatrix}\left(\begin{pmatrix}x_1 \\x_1 \\2x_1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_2\\2x_2\\x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2x_3\\x_3\\-2x_3\end{pmatrix}\right)$$$$=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1+x_2+2x_3\\x_1+2x_2+x_3\\2x_1+x_2-2x_3\end{pmatrix}$$$$=(x_1^2+x_1x_2+2x_1x_3)+(x_1x_2+2x_2^2+x_2x_3)+(2x_1x_3+x_2x_3-2x_3^2)$$$$=x_1^2+2x_2^2-2x_3^2+2x_1x_2+ 4x_1x_3+2x_2x_3$$Die Matrix passt also und du kannst den gegebenen Kegelschnitt wie folgt darstellen:$$K:\,\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\1 & 2 & 1\\2 & 1 &-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}+\frac{1}{2}=0$$Symmetrische Matrizen sind stets diagonalisierbar, daher kannst du nun mit der Hauptachsentransformation weiter machen...

Comments

Die zweite Aufgabe lautet: Zeigen Sie, dass die Eigenwerte +3 und -3 sind.

Ich komme jedoch nicht auf diese Werte sondern auf ziemlich komplizierte Eigenwerte.

Der Online Rechner den ich zur Überprüfung genutzt habe, gibt mir auch als Eigenwerte andere Zahlen.

Ist die Matrix doch falsch ?

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Die Matrix ist diejenige, die zu der angegebenen Gleichung passt. Hast du die Gleichung vielleicht falsch abgetippt?

Answer 2

Das sieht nach einem Hyperboloid aus. Die Matrix ist ok. Die App

https://www.geogebra.org/m/pempffkx

Zeigt dir auch die Rechenschritte. 3,-3 sind keine Eigenwerte.

Vielleicht ist deine Quadrik-Gleichung falsch?