Welche Dimensionen können für Ut ∩ W und Ut + W auftreten?

Question

Beispiel. V = ℝ³. Wir betrachten die beiden Untervektorräume:

U_t = < \( \begin{pmatrix} cos t \\sin t\\0 \end{pmatrix} \) > , W = < \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \) > .

Welche Dimensionen können für U_t ∩ W und U_t + W auftreten?

Lösung:

Es gilt: dim U_t = 1, dim W = 2 ∀t. Außerdem ist dim(U_t ∩ W ) = 0, dim(U_t + W ) = 3, falls { \( \begin{pmatrix} cos t \\sin t\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \) } eine Basis des ℝ³ ist, und dies passt zu den Formeln aus dem Korollar. (U, W ⊂ V seien Untervektorräume. Dann gilt: dim U + dim W = dim(U ∩ W ) + dim(U + W ) )

Ist dies nicht der Fall, dann gilt:

\( \begin{pmatrix} cos t \\sin t\\0 \end{pmatrix} \) ∈ < \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \) > = W (U_t ⊂ W ), also: dim U_t = 1, dim W = 2, dim(U_t ∩ W ) = 1 und dim(U_t + W ) = 2. Dies liegt vor, falls:

\( \begin{pmatrix} cos t \\sin t\\0 \end{pmatrix} \) ∈ <\( \begin{pmatrix} 0\\2\\0 \end{pmatrix} \) > ⇒ t = π/2 bzw. t = π/2+ kπ, k ∈ ℤ.

Frage: Woher kommt \( \begin{pmatrix} 0\\2\\0 \end{pmatrix} \) ?

Answer 1

Hallo,

wir haben die 3 Vektoren

$$ \begin{pmatrix}  \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} $$

Jetzt wird der Fall betrachtet, dass der erste in der linearen Hülle der beiden anderen liegt. Das bedeutet, es existieren reelle Zahlen s,t mit:

$$ \begin{pmatrix}  \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} $$

Die letzte Zeile liefert nunt \(s=-t\), also

$$ \begin{pmatrix}  \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{pmatrix}= s\begin{pmatrix} 0\\2\\0 \end{pmatrix}$$

Gruß