Beispiel. V = ℝ3. Wir betrachten die beiden Untervektorräume:
Ut = < \( \begin{pmatrix} cos t \\sin t\\0 \end{pmatrix} \) > , W = < \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \) > .
Welche Dimensionen können für Ut ∩ W und Ut + W auftreten?
Lösung:
Es gilt: dim Ut = 1, dim W = 2 ∀t. Außerdem ist dim(Ut ∩ W ) = 0, dim(Ut + W ) = 3, falls { \( \begin{pmatrix} cos t \\sin t\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \) } eine Basis des ℝ3 ist, und dies passt zu den Formeln aus dem Korollar. (U, W ⊂ V seien Untervektorräume. Dann gilt: dim U + dim W = dim(U ∩ W ) + dim(U + W ) )
Ist dies nicht der Fall, dann gilt:
\( \begin{pmatrix} cos t \\sin t\\0 \end{pmatrix} \) ∈ < \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \) > = W (Ut ⊂ W ), also: dim Ut = 1, dim W = 2, dim(Ut ∩ W ) = 1 und dim(Ut + W ) = 2. Dies liegt vor, falls:
\( \begin{pmatrix} cos t \\sin t\\0 \end{pmatrix} \) ∈ <\( \begin{pmatrix} 0\\2\\0 \end{pmatrix} \) > ⇒ t = π/2 bzw. t = π/2+ kπ, k ∈ ℤ.
Frage: Woher kommt \( \begin{pmatrix} 0\\2\\0 \end{pmatrix} \) ?