Können sich Dimensionen überlappen?

Question

Meine Frage:

Seien \( U, W \) Untervektorräume des \( \mathbb{R}^{11} \) mit \( \operatorname{dim}(U)=3 \) und \( \operatorname{dim}(W)=10 \). Bestimmen Sie den Bereich, in dem \( \operatorname{dim}(U \cap W) \) liegen kann, indem Sie eine möglichst genaue untere und obere Schranken angeben.

Meine Antwort:

\(2 \leq \operatorname{dim}(u \cap w) \leq 3 \)

Da \( U \) und \( W \) Unterwektorräume von \( \mathbb{R}^{11} \) sind so muss eine Überlappung der Dimensionen stattfinden die mindesten 2 Dimensionen betrifft Dann. \( 3+10=13 \). Damit die Addition der Dimensionen 11 ergibt müssen 2 der Dimensionen gleich \( \operatorname{sein} \).

Ist das Richtig?

Comments

Dimensionsformel sagt

Dim U+W = Dim U + Dim W - Dim U∩W

Dim U+W kann 10 oder 11 sein.

Also Dim U∩W ∈ {2,3}

Answer 1

Hallo

deine Argumente sind richtig aber was du daraus folgerst falsch.

a)U⊂V dann ist die Dimension des Schnitts die von V.

b) wegen dim 11 müssen U und V mindestens 2 Vektoren gemeinsam haben  dann ist der Schnitt dimV-1

lul