Aloha :)
Du hast hier den sehr wichtigen Sonderfall, dass der Gradient einer Funktion \(f\) gesucht ist, die nur vom Betrag des Vektors abhängt. Ich schreibe lieber \(\vec r\) an Stelle von \(\vec x\), weil ich dann \(r=\|\vec r\|\) als Kurzfassung für den Betrag des Vektors schreiben kann, ohne dass Missverständnisse auftreten. Bei \(x=\|\vec x\|\) könnte man den Betrag mit der x-Komponente verwechseln oder \(f(x)\) mit einer Funktion, die nur von einer Variablen abhängt. Sei also:$$f(\vec r)=f(r)\quad;\quad r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$$Wir bilden die partielle Ableitung nach der \(i\)-ten Komponente mit der Kettenregel:
$$\frac{\partial f(r)}{\partial x_i}=\frac{\partial f(r)}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x_i}=f'(r)\cdot\frac{\partial}{\partial x_i}\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$$$$\phantom{\frac{\partial f(r)}{\partial x_i}}=f'(r)\cdot\frac{2x_i}{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}}=f'(r)\cdot\frac{x_i}{r}$$Damit lautet der Gradient:
$$\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\cdot\begin{pmatrix}x_1/r\\x_2/r\\\vdots\\x_n/r\end{pmatrix}=f'(r)\cdot\frac{1}{r}\cdot\vec r=f'(r)\cdot\vec r^{0}$$Um den Gradient zu berechnen, brauchst du also nur die Funktion nach dem Betrag abzuleiten und das Ergebnis mit dem Einheitsvektor \(\vec r^0\) zu multiplizieren.
Die in dieser Aufgabe gesuchte Richtung des stärksten Anstiegs ist also:$$\operatorname{grad}\left(\|\vec r\|\right)=\operatorname{grad}\left(r\right)=1\cdot\vec r^{0}=\vec r^{0}$$
Um zu verstehen, dass der Gradient die Richtung des stärksten Anstiegs angibt, betrachten wir die Änderung \(\Delta f(\vec r)\) der Funktion bei kleinen Änderungen \(\Delta\vec r\) von \(\vec r\):$$\Delta f(\vec r)=\operatorname{grad}f(\vec r)\cdot\Delta\vec r$$Legt man speziell \(\Delta\vec r\) in eine Richtung, in der sich \(f(\vec r)\) gar nicht ändert, so ist$$\operatorname{grad}f(\vec r)\cdot\Delta\vec r=0$$Das sind aber gerade alle solche Änderungen \(\Delta\vec r\), die innerhalb der Hyperebene mit konstantem Funktionswert \(f(\vec r)\) liegen. Da das Skalarprodukt des Gradienten mit diesen Verschiebungen \(\Delta\vec r\) Null ist, muss \(\operatorname{grad}f(\vec r)\) darauf senkrecht stehen.
