Gradienten, Richtungsableitung, Richtung maximalen Anstiegs

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion

$$ f(x, y)=x y\left(x^{3}+2 y\right)+4 y+4 x $$

a) Berechnen Sie den Gradienten von \( f \) im Punkt \( (x, y) \) sowie im Ursprung.

b) Berechnen sie die Richt ungsableitungen von \( f \) in Richtung des Vektor \( \vec{v}=\left(\begin{array}{c}{\cos (t)} \\ {\sin (t)}\end{array}\right) \)
$$ \text { für } t \in[0,2 \pi) $$

c) Bestimmen Sie die Richtung des maximalen Anstiegs im Ursprung.

Ansatz:

Also den Grad f(x,y) habe ich bestimmt. Wie wäre das im Punkt (0,0)? Einfach grad f(0,0)? Käme dann auf (4;4).

Die Richtungsableitung ist doch der Gradient mal den Einheitsnormalenvektor, oder? Wie stauche ich denn diesen Vektor auf die Länge 1 zusammen?

Answer 1

a) Also den grad f(x,y) habe ich bestimmt.

gradf f(x,y) = 4x³y + 2y² +4, x⁴ + 4xy +4) im Punkt (x,y)

Wie wäre das im Punkt (0,0)? Einfach grad f(0,0)? Käme dann auf (4;4)

gradf f(0,0) = 4*0³*0 + 2*0² +4, 0⁴ + 4*0*0 +4) = (4,4) 

b) Die Richtungsableitung ist doch der Gradient mal den Einheitsnormalenvektor, oder? Wie stauche ich denn diesen Vektor auf die Länge 1 zusammen? 

Wir berechnen die Richtungsableitung von f zunächst in Richtung des Einheitsvektors e  = (1,0)

grad f(1,0) = 4*1³*0 + 2*0² +4, 1⁴ + 4*1*0 +4 = (4, 5) = grad f(e)

Es gilt D f(e) v = grad f(e) * v

Mit v = (cos(t), sin(t)) folgt grad f(e) * v = (4, 5) * (cos(t), sin(t)) = 4*cos(t) + 5*sin(t)

Für c) habe ich keine Ahnung. :-)

Hier spielt wieder der Punkt (0,0) eine Rolle -> grad f(0,0) = (4,4)

f  wächst in der Richtung des Vektors (4,4) am schnellsten, so gilt

v := [grad f(0, 0)]/[|grad f(0, 0)|]

Die Steigung im Punkt (0,0) = grad f(0,0) * v = | grad f(0,0) | = √(16 + 16) = √32 = 4*√2

Comments

Also die Richtung des maximalen Anstieges ist doch immer in Richtung der Extremstellen, oder?