Wie berechne ich Standardabweichung ohne Varianz?

Question

Aufgabe:

Ein Automat fertigt Fußbälle für die WM. Aus technologischen Gründen schwankt das Gewicht der produzierten Bälle.

Wie groß darf die Standardabweichung der Masse eines Balls höchstens sein, wenn die Masse als normalverteilt mit einem Erwartungswert von 430 g angesehen werden kann?

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Masse des Balls in der Norm, d.h. zwischen 410 g und 450 g liegt, soll 99 % betragen.

Problem/Ansatz:

Wie genau soll man die Standardabweichung bzw. die nötige Varianz berechnen ohne weiter Daten als den Erwartungswert und den geforderten Bedingungen?

Answer 1

Nur zu Erläuterung. Da 99% im Intervall \( [410, 450] \) liegen soll, muss gelten

$$  \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} \ \sigma} \int_{410}^{450} e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{ x - \mu }{\sigma}  \right) ^2} dx = 0.99 $$

Also $$  \Phi\left(  \frac{450-\mu}{\sigma} \right) - \Phi\left(  \frac{410-\mu}{\sigma} \right) = 2 \Phi\left( \frac{20}{\sigma}  \right) - 1= 0.99 $$ mit \(\Phi() \) Standardnormalverteilung. Weil ja gilt \( \Phi(-x) = 1- \Phi(x) \)

Also gilt $$ \Phi\left( \frac{20}{\sigma}  \right) = 0.995 $$ Jetzt in der Tabelle nachschlagen ergibt ungefähr $$ \frac{20}{\sigma} = 2.58  $$ Also $$  \sigma = 7.752  $$ Die Abweichung von der Lösung von Mathecoach kommt durch die Tabellenablesung, die nicht ganz genau ist.

Comments

Wie kommt der Vorfaktor \(\dfrac1{2\pi\sqrt\sigma}\)  des Integrals zustande?

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Quatsch von mir. Sollte \( \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} \ \sigma}\) heissen. Korrigiere ich oben.

Answer 2

dass die Masse
des Balls in der Norm, d.h. zwischen 410 g und 450 g liegt, soll 99 %
betragen.

Wenn 99% im Intervall liegen sollen, liegen nur die kleinsten 0,5% und die größten 0,5% außerhalb.

Die obere Grenze ist somit in der Tabelle bei 0,995 zu suchen, ich finde diesen Wert bei 2,58.

Damit wäre dann 250g = 230g + 2,58 σ.

Comments

Hallo abakus,

danke erstmal für deinen Vorschlag! Ich glaube dein Ansatz ist an sich richtig, aber laut Musterlösung kommt folgendes Ergebnis raus:

"Die Standardabweichung der Masse des Balls darf höchstens 7,7645g betragen".

Aber wie genau kommt man auf diesen spezifischen Wert? Vielleicht hilft dir das weiter um mir weiterzuhelfen :-D Danke auf jeden Fall schon Mal!

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2.58 nimmst du wenn du den Wert aus der Tabelle abließt. Ein Taschenrechner rechnet mit dem exakteren Wert k = 2.575829289.

Auf diesen Wert kommt du aber nicht ohne Hilfsmittel.

Answer 3

Löse die Gleichung

NORMAL((450 - 430)/s) - NORMAL((410 - 430)/s) = 0.99 --> s = 7.764489650