Beweis Varianz und Standardabweichung

Question

Aufgabe: Beweise, dass die Varianz und die Standardabweichung sich um den Faktor k ändern, wenn alle Werte der Stichprobe mit einem festen Wert k mutlipliziert werden.

Problem/Ansatz:

Wenn alle Werte mit k mutlipliziert werden, sieht die Varianzformel so aus:

(1/n) * \( \sum\limits_{i=1}^{n} \) ((k*xi)-(k*xn)) (Dass sich das arithmetische Mittel um den Faktor k verändert, wurde zuvor schon bewiesen)

Dann kann ich k ausmultiplizieren:

(1/n) * \( \sum\limits_{i=1}^{n} \) (k * (xi - xn))

Dann kann ich die Formel aufteilen:

(1/n) * \( \sum\limits_{i=1}^{n} \) k * (1/n) * \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{n} \) (xi - xn)

Das wäre dann k² _* s²

Die Varianz würde sich also um den Faktor k² verändern, nicht nur um k.

Bei der Standardabweichung müsste man nun noch die Wurzel ziehen und kommt so zu

k * s

Hier wäre also der Satz richtig, da sich die Standardabweichung um den Faktor k verändert.

Ist der Beweis so richtig?

Answer 1

Erwartungswert

μ = ∑ (i) (xi * P(X = xi))

Was passiert, wenn man die Ausprägungen xi mit dem Faktor k multipliziert

∑ (i) (k * xi * P(X = xi))
= k * ∑ (i) (xi * P(X = xi)) = k * μ

Varianz

σ^2 = ∑ (i) ((xi - μ)^2 * P(X = xi))

Was passiert hier wenn man die Ausprägungen multipliziert

∑ (i) ((k * xi - k * μ)^2 * P(X = xi))
= ∑ (i) ((k * (xi - μ))^2 * P(X = xi))
= ∑ (i) (k^2 * (xi - μ)^2 * P(X = xi))
= k^2 * ∑ (i) ((xi - μ)^2 * P(X = xi))
= k^2 * σ^2

Die Varianz ändert sich mit dem Faktor k^2 und damit ändert sich die Standardabweichung um den Faktor k.

Du hast das also alles richtig gemacht. Die Fragestellung ist verkehrt. Es kann sich die Standardabweichung nicht exakt mit demselben Faktor ändern wie die Varianz. Ausnahme k = 1.