Bildet dies einen Körper? Uni-Niveau

Question

Aufgabe:

Sei n ∈ ℕ. Zeige, dass die Menge ℚ[\( \sqrt{n} \) ] = {a + b\( \sqrt{n} \) | a, b ∈
ℚ} ⊂ ℝ mit der üblichen Addition und Multiplikation einen Körper bildet.

Problem/Ansatz:

Die Rechenregeln übertragen sich von ℝ auf ℚ[\( \sqrt{n} \)] und brauchen
deshalb nicht verifiziert zu werden.

Answer 1

Da hier von der normalen Addition und Multiplikation in den reellen Zahlen ausgegangen wird, brauchst du nur noch die Körperaxiome für das neutrale Element, das inverse Element, die Abgeschlossenheit und das Distributivgesetz zeigen. Neutrales und inverses Element jeweils für die Addition und Multiplikation zeigen, Abgeschlossenheit nur einmal für beide Verknüpfungen auf dem Körper. Für die Axiome von Körpern kann ich dir folgende Seite empfehlen:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra)

Die Axiome zu beweisen sollte nicht allzu schwer sein, falls es noch Fragen gibt melde dich!