Aloha :)
Das Problem ist hier die geschickte Parametrisierung der Menge \(M\). Parallel zur \(xy\)-Ebene haben wir es mit Kreisen zu tun, die den Radius \(z^2\) haben. Daher bieten sich Zylinderkoordinaten an:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;z^2]\;;\;\varphi\in[0;2\pi[\;;\;z\in[0;1]$$Das Volumenelement transformiert sich beim Übergang zu Zylinderkoordinaten wie folgt:$$dV=dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\varphi\,dz$$Damit haben wir alles, was für das Integral brauchen:$$I=\iiint\limits_M 2z\,dV=\int\limits_0^{1}dz\int\limits_0^{z^2}dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\,r\, 2z=\int\limits_0^{1}2z\,dz\int\limits_0^{z^2}r\,dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi$$Beachte, dass hier die Integrationsreihenfolge nicht beliebig ist. Da die obere Grenze von \(dr\) von \(z\) abhängt, müssen wir zuerst über \(dr\) und danach erst über \(dz\) integrieren. Das Integral über \(d\varphi\) können wir direkt als \(2\pi\) hinschreiben:$$I=2\pi\int\limits_0^{1}2z\,dz\int\limits_0^{z^2}r\,dr=2\pi\int\limits_0^{1}2z\,dz\left[\frac{r^2}{2}\right]_{r=0}^{z^2}=2\pi\int\limits_0^{1}2z\,dz\,\frac{z^4}{2}$$$$\phantom{I}=2\pi\int\limits_0^1z^5\,dz=2\pi\left[\frac{z^6}{6}\right]_{z=0}^1=2\pi\cdot\frac{1}{6}=\frac{\pi}{3}$$
