Aloha :)
$$f(x)=2x^4+4x^3-24x^2-26x+24=2(x^4+2x^3-12x^2-13x+12)$$Alle ganzzahligen Nullstellen des eingeklammerten Polynoms müssen Teiler von der Zahl ohne \(x\) sein, also von der \(12\). Daher probieren wir \(\pm1,\pm2,\pm3\,\pm4\,\pm6,\pm12\) aus und werden fündig bei \(x=-4\) und bei \(x=3\). Wir können das eingeklammerte Polynom also durch \((x+4)\) und durch \((x-3)\) dividieren. Nach Polynomdividision finden wir:$$f(x)=2(x+4)(x-3)(x^2+x-1)$$Die quadratische Gleichung in der letzten Klammer lösen wir mit der pq-Formel:
$$x_{3,4}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+1}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{5}{4}}=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt5}{2}$$Damit haben wir die maximale Anzahl von 4 Nullstellen gefunden:
$$x_1=-4\quad;\quad x_2=3\quad;\quad x_3=-\frac{1+\sqrt5}{2}\quad;\quad x_4=\frac{\sqrt5-1}{2}$$
