Berechne alle reellen und komplexen Nullstellen des Polynoms

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie alle reellen und komplexen Nullstellen des Polynoms \( p \) mit

\(p(z)=z^{3}-3 \cdot z^{2}+7 \cdot z-5 .\)

Hinweise:

- Geben Sie die Menge der Nullstellen in geschweiften Klammern an und trennen Sie die Elemente durch Kommata.

- Geben Sie die Antwort mathematisch exakt, also nicht mit Fließkommazahlen an.

Nullstellen: \( \{z 1, z 2, \ldots\} \)

Problem/Ansatz:

Leute benötige Hilfe bei dieser Aufgabe ich verstehe allgemein komplexe Zahlen nicht so bräuchte dringend die Lösung und gerne mit Erklärung wenn es geht würde es verstehen wollen. DANKE LEUTE :**

Answer 1

Mit dem Satz über rationale Nullstellen ratet man eine Nullstelle.

Dann faktorisiert man mittels Polynomdivision.

Dann Satz vom Nullprodukt anwenden.

Die quadratische Gleichung löst man mit der \(pq\)-Formel.

Bis jetzt hat sich alle im reellen abgespielt. Im Gegensatz zum reellen beendet man die Rechnung aber nicht wenn die Diskriminante negativ ist, sondern man formt

        \(x = -\frac{p}{2}\pm\sqrt{-D}\)

um zu

        \(x = -\frac{p}{2}\pm\mathrm{i}\cdot\sqrt{D}\)

Answer 2

Hallo,

wenn du z=1 ausprobierst, stellst du fest, dass es eine Lösung ist.

Jetzt dividierst du das Polynom durch (z-1) und erhältst eine quadratische Gleichung die du mit der pq-Formel lösen kannst.

\(0=z^{3}-3 \cdot z^{2}+7 \cdot z-5 \)

\(0=z^{3}- 1z^2 -2 z^{2}+2z+5z-5 \)

\(0=z^2(z- 1)-2z(z-1)+5(z-1)\)

\(0=(z^2-2 z+5) (z-1)\)

\(0=z^2-2 z+5\) oder \(0=(z-1)\)

\(z_1=1\)

\(z_{23}=1\pm\sqrt{1-5}\\ ~~~~~~=1\pm\sqrt{-4}\\ ~~~~~~=1\pm2\sqrt{-1}\)

\(z_2=1+2i~~~;~~~z_3=1-2i\)

:-)

Comments

denkst du ich sollte dann es so hinschreiben :

Nullstellen: {1,3,1} oder eher so Nulstellen: {1,3i,1i}

Danke im Voraus

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Oh, das ist beides falsch.

L={1; 1+2i; 1-2i}

Du darfst 1+2i nicht zu 3i zusammenfassen!

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oh ok danke sehr :*