Analysis gebrochen rationale Funktion

Question

Aufgabe:

f(x)=(3 x^(2) (x+2))/(x^(3)+3 x^(2)+2 x)

folgende Funktion ist gegeben

1) Berechnen Sie DMAX

In diesem Fall darf x alle Zahlen aus -2 und 0 annehmen, weshalb D= R\{-2,0} ist

2) Untersuchen Sie das Verhalten an der Definitoonslücke.

Kurz vor x=-2 hört die Funktion abrupt auf und geht ins Positive über ( von links nach rechts betrachtet)

3) Berechne die Nullstellen

Die Funktion besitzt eigetnlcib keine Nullstellen.

4)

Klassifizieren Sie die Art der Definitionslücke

Da bin ich mir unsicher.

Stimmt das so weit?

Und wie kann ich 4 beantworten.

Vielen Dank für die Hilfe.

Comments

Wie verhält sich die Funktion dann im Unendlichen?

Answer 1

Bei x=-1 ist auch eine Definitionslücke.

Nullstelle im Nenner, aber keine im Zähler: Polstelle.

:-)

Answer 2

Aloha :)

1) Definitionsbereich

$$f(x)=\frac{3x^2(x+2)}{x^3+3x^2+2x}=\frac{3x^2(x+2)}{x(x^2+3x+2)}=\frac{3x^2(x+2)}{x(x+1)(x+2)}$$Der Nenner wird null für \(x=0\), \(x=-1\) und \(x=-2\). Der maximale Definitionsbereich ist daher:$$D_{\text{max}}=\mathbb R\setminus\{-2;-1;0\}$$

2 und 4) Definitionslücken untersuchen

Du erkennst, dass man \((x+2)\) kürzen kann, deswegen liegt bei \(x=-2\) eine behebbare Lücke vor. Ebenso kann man das \(x\) aus dem Nenner mit einem der \(x^2\) im Zähler kürzen, sodass auch bei \(x=0\) eine behebbare Lücke vorliegt. Eine Polstelle hast du bei \(x=-1\), weil man da nichts mit dem Zähler kürzen kann.

~plot~ 3x^2(x+2)/(x^3+3x^2+2x) ; {-2|6} ; {0|0} ; x=-1 ; [[-4|4|-5|10]] ~plot~

3) Nullstellen bestimmen

Der Zähler wird null für \(x=0\) und \(x=-2\). Beide Werte sind jedoch nicht in der Definitionsmenge enthalten. Daher hat die Funktion keine Nullstellen.

Answer 3

f(x) = 3·x^2·(x + 2)/(x^3 + 3·x^2 + 2·x)

f(x) = 3·x^2·(x + 2)/(x·(x^2 + 3·x + 2))

f(x) = 3·x^2·(x + 2)/(x·(x + 1)·(x + 2))

Hebbare Definitionslücken bei x = 0 und x = -2

f(x) = 3·x/(x + 1) mit D = R \ {-2, -1, 0}

Polstelle mit VZW von + zu - an der Stelle x = -1

lim (x → 0) f(x) = 0

lim (x → -2) f(x) = 6