Wie muss man E wählen, damit sich 9w^2 - 480 w + E als Quadrat schreiben lässt?

Question

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ich kann folgende Aufgabe nicht lösen, bzw. verstehe nicht, was mit "als Quadrat schreiben lässt" gemeint ist. Die Lösung ist 6400. Wie gehe ich das an?

Aufgabe:

Wie muss man E wählen, damit sich 9w² - 480 w + E als Quadrat schreiben lässt? E ist die „quadratische Ergänzung“. Tipp: binomische Formel!

Vielen Dank für eure Rückmeldung

Answer 1

Aloha :)$$9w^2-480w+E=9\left(w^2-\frac{480}{9}w+\frac{E}{9}\right)$$

Wenn wir \(\frac{E}{9}\) als quadratische Ergänzung zur Klammer wählen, steht rechts eine Quadratzahl, weil der Vorfaktor \(9=3^2\) auch eine Quadratzahl ist. Die quadratische Ergänzung finden wir, indem wir die Zahl vor dem \(w\) halbieren und danach quadrieren:$$9\left[w^2-\frac{480}{9}w+\left(\frac{240}{9}\right)^2\right]=3^2\left(w-\frac{240}{9}\right)^2$$Vergleich der Summanden liefert:$$\frac{E}{9}=\left(\frac{240}{9}\right)^2=\left(\frac{80}{3}\right)^2=\frac{6400}{9}\quad\Rightarrow\quad E=6400$$

Comments

Danke dir für die Antwort zu später Stunde. Habe es jetzt nochmal selbst auf Papier nachgerechnet und denke, dass ich es verstanden habe;) Zum Vergleich unten: Müsste es nicht streng genommen E/9=(-240/9)² = (-80/3)² = 6400/9 sein?

Hatte drei Jahre während meiner Ausbildung zum Fachinformatiker leider gar kein Mathe und muss mich mal aufs Studium beginnend in ein paar Wochen vorbereiten :)

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Ja, streng genommen ist die quadratische Ergänzung \(\left(-\frac{240}{9}\right)^2\). Da das Minuszeichen beim Quadrieren aber verschwindet, habe ich es direkt weggelassen.

Answer 2

Wir schreiben im ersten Schritt \(9w^2=\left(3w\right)^2\) als Quadrat und zerlegen den Mittelteil, um die quadratische Ergänzung \(E=80^2\) zu bestimmen. Im zweiten Schritt schreiben wir der zweiten binomischen Formel entsprechend die Summe als Quadrat eines Binoms:

$$\begin{aligned} 9w^2-480w+E &=\\ \left(3w\right)^2-2\cdot 3w\cdot 80 + 80^2 &= \\ \left(3w-80\right)^2. \end{aligned}$$

Answer 3

Mit einer Gleichung:
sei E=x^2

-480w = 2*√(9w^2)*x

-480= 2*3w*x

x= -80

-> E= 6400

Answer 4

Denke an die 2. binomische Formel

a^2 - 2·a·b + b^2 = (a - b)^2

9·w^2 - 480·w + E

(3·w)^2 - 2·(3·w)·(80) + E

mit a = 3·w und b = 80 ergibt sich E = 80^2 = 6400

Comments

Danke dir, dass macht es sehr gut verständlich :)

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Freut mich, wenn du es verstanden hast.