Ist a^b immer irrational, wenn a und b positiv und irrational sind?

Question

wir haben gerade diskutiert, ob a^b immer irrational ist, wenn a und b positive irrational sind.

Vom Bauchgefühl her ist das so, aber kann man das irgendwie beweisen?

Danke für jede Hilfe

Answer 1

Aloha :)

Vorsicht mit dem "Bauchgefühl"...

Wir wissen, dass \(\sqrt2\) irrational ist. Daher erfüllt die Wahl \(a=\sqrt2\) und \(b=\sqrt2\) die Voraussetzungen. Da wir nicht wissen, ob \(a^b=\sqrt2^{\sqrt2}\) rational oder irrational ist, machen wir eine Fallunterscheidung:

1. Fall \(a^b=\sqrt2^{\sqrt2}\in\mathbb Q\) ist rational.

Wir haben ein Gegenbeispiel für die Behauptung gefunden.

2. Fall \(a^b=\sqrt2^{\sqrt2}\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\) ist irrational.

Da nach Voraussetzung \(\sqrt2^{\sqrt2}\) irrational ist, können wir \(\tilde a=\sqrt2^{\sqrt2}\) und \(b=\sqrt2\) wählen:
$$\tilde a^b=\left(\sqrt2^{\sqrt2}\right)^{\sqrt2}=\sqrt2^{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\sqrt2\,^2=2\in\mathbb{Q}$$In beiden Fällen erhalten wir eine rationale Zahl als Gegenbeispiel.

Die Antwort auf deine Frage ist also: "Nein!".

Comments

Da habe ich doch noch etwas dazugelernt.

:-)

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Interessant ist das man noch nicht mal wissen muss, ob wurzel2 hoch wurzel2 rational oder irrational ist. Ich kann leider kein Daumen hoch geben, funktioniert nicht. Trotzdem vielen Dank!

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@HansDampf, das ist doch gerade das geniale an der Antwort. Wäre \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) rational, hättest du bereits die Frage beantwortet, indem du ein Gegenbeispiel lieferst. In jedem Fall, widerlegt seine Antwort deien Vermutung. Dass \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) irrational ist, ist aber bewiesen:https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Gelfond-Schneider

Answer 2

Hallo,

es wird vermutet, dass \(\pi^\pi\) oder \(e^e\) irrational ist. Es scheint sinnvoll, dies zu vermuten, allerdings gab es dafür bisher noch keinen strengen Beweis. Deine Vermutung kann man allerdings leicht widerlegen (vgl. die Gelfond-Schneider-Konstante, die irrational ist und potenziere mit √2)