Zeige: Die Dreiecke ABH und HFC sind flächengleich.

Question

Von den Quadraten ABCD und BEFG liegt C auf BG. H sei der Schnittpunkt von AF und BC. Zeige: Die Dreiecke ABH und HFC sind flächengleich.

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Answer 1

Die Quadrate haben die Kantenlänge a und b.

Ich spare mir mal dein schönes Bild zu kopieren.

Nach Strahlensatz gilt

b/(a + b) = (a - x)/a --> x = a^2/(a + b)

x In folgende Flächenterme einsetzen:

A(ABH) = 1/2·a^2 - 1/2·x·a = a^2·b/(2·(a + b))

A(CHF) = 1/2·x·b = a^2·b/(2·(a + b))

A(ABH) = A(CHF)

Answer 2

Zuerst braucht man natürlich eine Zeichnung. Offenbar soll die Seite BC des (kleineren) Quadrats ABCD eine Teilstrecke der Seite GB des Quadrats BEFG sein. Ich bezeichne die Quadratseitenlängen mit a (erstes Quadrat) und b . Die Gerade AF schneidet dann die Seite BC im Punkt H. Ich bezeichne dann u:= |BH| und v:= |HC|.

Es ergibt sich dann aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ABH und AEF die Gleichung (1) u/a = b/(a+b). Ferner ist  v=a-u .

Nun gilt es, aus diesen beiden Gleichungen die neue Gleichung (3) a*u/2 = b*v/2  herzuleiten, welche dann besagt, dass die Dreiecke ABH und HFC  denselben Flächeninhalt haben müssen. Dies sollte nicht mehr schwer fallen.

Answer 3

Diesmal sehe ich hier kein Bild .

Die Aussage stimmt nur, wenn die Eckpunkte der Quadrate im gleichen Drehsinn bezeichnet wurden und wenn

G ∈ Gerade BC,

Dann sind die Flächen der Dreiecke gleich, wie hier auch mit Hilfe des Srahlensatzes gezeigt wurde.

Falls aber eine der oben genannten Bedingungen nicht erfüllt ist, dann ist die Behauptung falsch.