Parallelogramm konstruieren, das einem Dreieck flächengleich ist.

Question

Aufgabe: Es ist ein Parallelogramm mit dem gegebenen spitzen Winkel (alpha) zu konstruieren, das einem gegebenen Dreieck flächeninhaltsgleich ist. (Nach Euklid von Alexandria.)

…

Problem/Ansatz:

Mir ist klar, wie ich ein beliebiges Parallelogramm konstruiere, jedoch ist mir nicht klar, wie ich dazu ein flächeninhaltgleiches Dreieck konstruieren soll.  Ich wäre sehr froh, wenn jmd. Schritt für Schritt die Konstruktion beschreiben könnte :). Das Thema das wir jetzt  haben ist Zerlegungsgleiche und Ergänzungsgleiche Figuren (falls das Hilft...)  Danke im Voraus!

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Die drei Ecken des gegebenen Dreiecks (grün) seien \(A\), \(B\) und \(C\).

Trage den gewünschten Winkel in \(A\) an die Seite \(AB\) an (blaue Gerade). Die Parallele zu \(AB\) durch \(C\) (gestrichelt) schneidet den Schenkel des Winkels in \(C'\). Halbiere die Strecke \(AC'\); der Mittelpunkt sei \(D\). Ergänze \(A\), \(B\) und \(D\) zu einem Parallelogramm.

Gruß Werner

Comments

Wenn A_Rechteck = l • b ist, und wenn A_Dreieck = \( \frac{1}{2} \) • l • b ist, kann man das ja alles weg kürzen, und es bleibt, dass die Fläche des Paralellograms genau zwei seiner Dreiecke entspricht. Wenn du beim Parallelogram rumrechnest mit Dreiecken, die mit denselben Winkeln daher kommen, stellst du fest, dass da Kosinus und Co. nix verloren haben, weil sie sich, egal, wie du rechnest, wegkürzen. Letztendlich schrumpfst du eine Fläche auf die Hälfte, und dann sind Länge (egal welcher Winkel) mal Höhe immer 1/2, also Länge mal \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) mal Höhe mal dasselbe, was ja wieder 1/2 ergibt.

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Im konkreten Fall werden aber nicht Grundseite und Höhe mal \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) genommen. Die Grundseite ist unverändert geblieben.

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... weil sie sich, egal, wie du rechnest ...

ich denke, es ist einfacher, sich vorzustellen, dass die gleich gefärbten Teildreiecke gleich groß sind.

egal wo man B, C oder C' auch hin bewegt.

Das Thema das wir jetzt haben ist Zerlegungsgleiche und Ergänzungsgleiche Figuren

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@Mascha

Was dein Kommentar mit der gegebenen Aufgabe zu tun hat, erschließt sich mir nicht.

Es geht weder um Rechtecke, noch um Rechnungen. Außerdem sill nicht "geschrumpft", sondern flächengleiche Figuren konstruiert werden.