Zeigen, dass die Möndchen zusammen flächengleich zum Dreieck sind

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die blau gefärbten Flächen die gleiche Fläche wie das Dreieck haben.

Problem/Ansatz:

Würde mich über eine Lösung sehr freuen.

LG

Pete

Comments

Das war Hippokrates von Chios um 450 v. Chr.

https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6ndchen_des_Hippokrates#Beweis

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Grobe Skizze zur Lösung dieser schönen Aufgabe:

blaue Fläche
= (Summe der beiden Kathetenhalbkreise minus dem Hypotenusenhalbkreis) plus Dreieck
= Dreieck.

In der Rechnung verschwindet die Klammer auf geheimnisvolle Weise... warum?

Answer 1

Seien HK_a, HK_b und HK_c die Flächen der Halbkreise mit den Durchmessern a, b bzw. c und A_Dreieck die Fläche des Dreiecks. Dann ist die Fläche der Möndchen A_Dreieck + HK_a+HK_b - HK_c = A_Dreieck +\( \frac{a^2π}{8} \) + \( \frac{b^2π}{8} \) - \( \frac{c^2π}{8} \) = A_Dreieck +\( \frac{π}{8} \) (a²+b² - c²)  Wegen a²+b²=c² ist die Klammer Null.