Injektivität einer Abbildung

Question

ich habe eine Frage bezüglich der Injektivität einer Abbildung. Unzwar bin ich auf folgende Definition gestoßen:

$$\forall x_1, x_2 \in X : [x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)] \Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in X : [f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2] $$

Meine Frage hier ist, ob man den Folgepfeil \( \Rightarrow \) nicht mit einem Äquivalenzpfeil \( \Leftrightarrow \) tauschen kann,

da laut Definition einer Abbildung jedem Element der Anfangsmenge jeweils nur ein Element der Zielmenge zugeordnet wird.

Comments

Du meinst, warum man nicht etwa \(\forall x_1,x_2\in X : f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow x_1=x_2\) schreibt? Wenn ja, ist diese Bedingung viel restriktiver und wird nur von der Identität erfüllt.

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ah ja du hast recht. kleiner denkfehler meinerseits.

Answer 1

Man kann in der Definition

         \(f:X\to Y \text{ ist injektiv} :\Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in X : \left(x_1 \neq x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)\right)\)

das \(\Rightarrow\) durch \(\Leftrightarrow\) ersetzen, ohne das sich an der Bedeutung etwas ändert.

Nachteil daran ist, dass man für den Beweis der Injektivität einer Funktion \(f:X\to Y\) nicht nur

        \(x_1 \neq x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)\)

für alle \(x_1,x_2\in X\) zeigen musst, sondern auch noch

  \(f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right) \Rightarrow x_1 \neq x_2\).

Letzteres ist zwar, wie du schon bemerkt hast, trivial, aber streng genommen wäre der Beweis nicht vollständig, wenn du nicht zumindest darauf hinweist, dass das trivial ist.