Ist die Menge P0(N) abzählbar?

Question

Aufgabe:

Es bezeichne P0(N) die Menge aller endlichen Teilmengen von N. Ist die Menge P0(N) abzählbar?

Tipp: Eine Art dies zu zeigen, ist zu benutzen, dass jede endliche Menge X ⊂ N ein Maximum besitzt,

d.h. es existiert ein Element x ∈ X, sodass n ≤ x für alle n ∈ X gilt. Dies werden Sie später in der Analysis-Vorlesung sehen, können Sie aber auch durch Induktion zeigen.

Problem/Ansatz:

Hier wäre der Beweis durch Induktion erwünscht, wenn möglich mit einer schrittweisen Herangehensweise. Vielen Dank.

Comments

Hast du auch Lineare Algebra bei Menny?

---

+1 LinAlg bei Menny

Answer 1

Idee: $$\mathcal{P}_0(\mathbb{N})=\bigcup\limits_{k\in \mathbb{N}}\underbrace{\{A\in \mathcal{P}(\mathbb{N}) : A \text{ hat höchstens } k\text{ Elemente}\}}_{=:N_k}$$ Es handelt sich hierbei um eine abzählbare Vereinigung. Es genügt hier zu zeigen, dass jede der Mengen \(N_k\) abzählbar ist. Dies kann man per Induktion nach \(k\in \mathbb{N}\) zeigen.