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Zeigen Sie, dass die Menge ℕabzählbar ist.

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Habt ihr irgendwelche Sätze oder Beispiele über Abzählbarkeit bewiesen

oder nur ne Definition gemacht ?

Ich habe nur Definition und ein Beweis durch Abzählen für "Die Menge aller totalen FunktionenN→{0, 1} ist nicht abzählbar."

Ich habe nur Definition

Dann stimmt natürlich der Satz "ℕ2 ist bekanntermaßen wegen Cantors erstem Diagonalargument abzählbar" aus meiner Antwort nicht mehr.

Stattdessen ist (a,b,c) ↦ 2a·3b·5c eine injektive Abbildung von ℕ3 nach ℕ.

Vielen Dank!

Kannst du bitte noch erklären, warum deine Abbildung injektiv ist?
Das ist mir noch nicht wirklich klar.

Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung.

Wenn zwei Zahlen die gleiche Primfaktorzerlegung

haben, etwa

2a*3^b *5^c   =  2^x * 3^y * 5^z

dann stimmen die entsprechenden Exponenten

überein, also (a,b,c)=(x,y,z).

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Vielen Dank für die Erlärung

1 Antwort

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2 ist bekanntermaßen wegen Cantors erstem Diagonalargument abzählbar.

Es ist ℕ3 isomorph zu ℕ2 × ℕ. Also ist auch ℕ3 wegen Cantors erstem Diagonalargument abzählbar.

Avatar von 107 k 🚀

Kann ich dieses Argument auch für " ∪i∈ℕ 3 " nutzen?

Ja, weil ∪i∈ℕ3 = ℕ3 ist.

ups Schreibfehler, ∪i∈ℕi

Mit Cantors erstem Diagonalargument kann man zeigen, dass jede Vereinigung von abzählbar vielen abzählbar großen Mengen abzählbar ist.

wir haben es noch nicht gelernt, Gibt es einen anderen Weg? Btw vielen Dank für diene Antworten!

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