Wie löse ich das? Gleichungssystem

Question

Aufgabe:

Gleichungssystem lösen

Gegeben ist:

x^2-2x=-3

y^2+4y=-3

Wie löse ich das? Es gibt gar keine gemeinsamen Variablen?

Answer 1

Aloha :)

Du sollst hier vermutlich die beiden linken Seiten gleichsetzen:

$$\left.y^2+4y=-3=x^2-2x\quad\right|\quad+4$$$$\left.y^2+4y+4=x^2-2x+4\quad\right|\quad\text{links die 1-te binomische Formal anwenden}$$$$\left.(y+2)^2=x^2-2x+4\quad\right|\quad\text{rechts etwas umformen}$$$$\left.(y+2)^2=x^2-2x+1+3=(x-1)^2+3\quad\right|\quad\sqrt{\cdots}$$$$\left.y+2=\pm\sqrt{(x-1)^2+3}\quad\right|\quad-2$$$$y=\pm\sqrt{(x-1)^2+3}-2$$

Der Aufgabensteller hat nur übersehen, dass die erste Gleichung überhaupt keine Lösung hat:$$\left.x^2-2x=-3\quad\right|\quad+1$$$$\left.x^2-2x+1=-2\quad\right|\text{links die 2-te binomische Formel anwenden}$$$$\left.(x-1)^2=-2\quad\right.$$Da eine Quadratzahl immer \(\ge0\) ist, muss auch \((x-1)^2\ge0\) sein. Die Gleichung wird daher von keinem \(x\in\mathbb R\) erfüllt. Streng genommen, gibt es also gar keine Lösung.

Comments

Hallo,

das Antwortenbuch des Lehrers sagt, dass die Antworten
(3,-1) , (3,-3) , (-1,-1) und (-1,-3) sind. Mein CAS kommt auf die gleiche Lösung. Wie ist das möglich?


Lieben Dank für die Hilfe!

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Wenn das sie Lösungen sind, hast du die Aufgabe falsch angegeben. Dann muss es bei der ersten Gleichung nämlich nicht \(-3\), sondern \(+3\) heißen, also:$$x^2-2x=3\quad;\quad y^2+4y=-3$$$$x^2-2x-3=0\quad;\quad y^2+4y+3=0$$$$(x-3)(x+1)=0\quad;\quad (y+3)(y+1)=0$$$$x=3\;\lor\;x=-1\quad;\quad y=-3\;\lor\;y=-1$$Daran kannst du gennau die angegebenen Lösungen bilden.

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Da wäre ich aus Erfahrung aber vorsichtig. Gut möglich ist auch, dass der Lehrer die Aufgabe falsch angegeben hatte und somit die Lösungsvorschläge falsch sind. Darum würde ich mal die Mitschüler*innen fragen, was bei ihnen steht .

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In jedem Fall passen die Lösungen, wenn es in der ersten Gleichung \(+3\) statt \(-3\) auf der rechten Seite heißt. Um die Gründe für dieses "Versagen" zu ermitteln, sollten wir schnellstmöglich eine Untersuchungskommission einsetzen ;)

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Auja,

und dann lassen wir das CAS die Gleichungen auch darstellen

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Ich habe keine Ahnung, was ein CAS ist, doch das muss schon etwas sehr merkwürdiges sein, wenn es aus falschen Vorgaben, die Lösungsvorschläge des Lehrers macht.

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Ihr habt recht - auch trotz mehrmaligen Überprüfen der Gleichung, ist mir der Fehler unterlaufen. Bitte entschuldigt das! :)

Wie kommt es, dass Du die Gleichung

2−2=3;2+4=−3
2−2−3=0;2+4+3=0
(−3)(+1)=0;(+3)(+1)=0
=3∨=−1;=−3∨=−1 löst?

Es wird doch gar nicht mehr gleichgesetzt oder eingesetzt? Woher weiß ich, dass ich die Gleichung so zu lösen habe und nicht anders (wie normal eigentlich II in I oder I in II)?

Lieben Dank Euch allen! :)

Answer 2

Gleichungssysteme lösen:

1. Eine noch nicht ausgewählte Gleichung auswählen.
2. Diese Gleichung nach einer Variable auflösen.
3. In alle anderen Gleichungen einsetzen.
4. Zurück zu 1. falls noch Gleichungen übrig sind.
   

Es gibt gar keine gemeinsamen Variablen?

Das heißt Punkt 3. gestaltet sich dieses mal besonders einfach.

Answer 3

Auch zwei Gleichungen mit jeweils einer Unbekannten ist ein Gleichungssystem.

x = 3
y = 4

ist auch ein Gleichungssystem. Nur das dieses schon gleich eine offensichtliche Lösung hat.

Hast du also Gleichungen in denen nur eine unbekannte vorkommt kannst du diese Gleich lösen

x^2 - 2·x = -3
x^2 - 2·x + 3 = 0
Hier gibt es keine reelle Lösung sondern nur zwei komplexe Lösungen.

Wenn man ein Gleichungssystem hat bei dem schon eine Gleichung keine Lösung hat das gesamte Gleichungssystem keine Lösung. Hier wären dann die Lösungen der anderen Gleichungen egal.

Wie gesagt bei einem Gleichungssystem sucht man eine Variablenbelegung, für die alle Gleichungen wahr sind. Das ist hier eben nicht möglich.

Comments

Hallo,

das Antwortenbuch des Lehrers sagt, dass die Antworten

(3,-1) , (3,-3) , (-1,-1) und (-1,-3) sind. Mein CAS kommt auf die gleiche Lösung. Wie ist das möglich?

Lieben Dank für die Hilfe!

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Dann prüfe nochmals genau die Gleichungen die du hier angegeben hast und welche du in den CAS eingegeben hast.

Die erste Gleichung müsste dann

x^2 - 2·x = 3

lauten. Also ohne das minus vor der 3 welches du oben angegeben hattest.

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Ja, da ist mir leider, obwohl ich es mehrmals überprüft habe, trotzdem ein Fehler unterlaufen. Bitte entschuldigt das!

Wie kommt es, dass man die Gleichung



2−2=3;2+4=−3
2−2−3=0;2+4+3=0
(−3)(+1)=0;(+3)(+1)=0
=3∨=−1;=−3∨=−1 löst?



Es wird doch gar nicht mehr gleichgesetzt oder eingesetzt? Woher weiß ich, dass ich die Gleichung so zu lösen habe und nicht anders (wie normal eigentlich II in I oder I in II)?

Lieben Dank Euch allen! :)

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Kommt in eine Gleichung nur eine Unbekannte drin vor, dann kannst du ja bereits die Lösungen für diese Unbekannte (mehr oder minder schwer) bestimmen.

x^2 - 2·x = 3

Hast du mehrere Gleichungen in der aber jeweils nur eine Unbekannte drin steckt. machst du das für jede Gleichung getrennt.

Am Ende schaust du welche Belegungen für die Unbekannten ALLE Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Dann hast du die Lösungen des Gleichungssystems.

Answer 4

Das ist doch schön, dann kannst du ja beide Gleichungen einzel lösen.

Ich sehe gerade, dass du nur eine Gleichung lösen musst, da 3>1 hat die erste Gleichung keine Lösung.

y²+4y=-3

y²+4y +3=0

(y-1)*(y-3)=0

y₁=1  y₂=3

ist die Lösung für die zweite Gleichung.

Das Gleichungssystem aber hat keine Lösung.