Wie löse ich das Gleichungssystem

Question

Zu einer Aufgabe habe ich die Parametergleichungen herausbekommen:
1. (95-a) + 3r -2s = 180
2. (65+5a) + 5r +4s = 300
3. -15r +3s = -480

Nun hab ich erstmals versucht s herauszubekommen indem ich die erste Gleichung *2 genommen habe und dann mit der zweiten Gleichung addiert habe. Dann komm ich auf r = 405-3a/11
Den Wert für r hab ich dann in die dritte Gleichung eingesetzt um s rauszukriegen, hab dann für s = 795+45a/33 raus
Hab dann alles nochmals in die zweite Gleichung eingesetzt um a zu bestimmen, erhielt dann den Wert -5. Laut Lösungsheft ist dies falsch, da sollte a= 25 sein.
Wo liegt mein Fehler und gibt es vielleicht eine leichtere Methode die Gleichungen zu lösen?

Answer 1

du kannst auch das Gaußverfahren nutzen. Zuerst sortierst du Zahlen und Variablen und überträgst es in eine erweiterte Koeffizientenmatrix.

$$ \begin{aligned}&(1)&\quad -a+3r-2s&=85\\&(2)&\quad 5a+5r+4s&=235\\&(3)&\quad -15r+3s&=-480 \end{aligned} $$

Dann sieht das so aus:

$$ \left(\begin{array}{ccc|c}   -1 & 3 & -2 & 85\\5 & 5 & 4 & 235\\ 0 & -15 & 3 & -480\end{array}\right) $$

Und die bringst du mit Zeilenoperationen auf Zeilenstufenform.

Answer 2

Wo liegt mein Fehler?

s = 795+45a/33   ist falsch     ,   s = 140/11 - 10·a/11

Ich würde  aus G3  s = 5r - 160  ausrechnen und dann s  in 1. und 2. einsetzen und zusammenfassen. Das ergibt

-a - 7·r = -235   und   a + 5·r = 175

Das LGS mit 2 Unbekannten kannst du wohl lösen:

a = 25    [ und  r = 30  und  s = -10 ]

Gruß Wolfgang