Aussage richtig negiert?

Question

Sei \(X\subseteq \mathbb{R}\). $$\begin{aligned}\neg &\left(\forall y \in \mathbb{R} \;\forall \epsilon >0 \;\exists x \in X: \lvert x-y\rvert <\epsilon\right) \\\iff & \;\exists y\in\mathbb{R} \;\exists \epsilon > 0 \;\forall x \in X : \lvert x-y\rvert <\epsilon\end{aligned}$$

Aufgabe
Ich sollte die Aussage im Bild negieren.

Was ich weiss
Ich weiss, dass für Negationen gilt, dass man den Allquantor durch den Existenzquantor vertauscht.
Es verhält sich im Bezug auf die Quantoren ähnlich wie ein Minus vor der Klammer.


Frage
(1) Was ist aber mit den anderen "Symbolen" zum Beispiel ">" oder das "<" ?
(2) Was ist mit den Betragsstrichen?

Muss man die Auch vertauschen ?

Answer 1

Wenn du zum Beispiel < hast und nun ,, ¬ ( < ) '' betrachtest, wird es zu ≥.

Der Betrag ist eine Funktion. Diese als solches alleine zu Verneinen, macht keinen Sinn. Man setzt ja zum Beipiel Beträge mit etwas Gleich oder will eine Abschätzung vornehmen. Und diese Relationszeichen werden, dann entsprechend negiert.

Comments

Wäre das also richtig?

\( \quad \operatorname{sei} x \leq \mathbb{R} \)
\( \neg\left(\forall y \in \mathbb{R} \forall_{\varepsilon}>0 \exists x \in X:|x-y|<\varepsilon\right) \)
\( \Leftrightarrow \exists y \in \mathbb{R} \exists_{\varepsilon} \leq 0 \forall x \in X:|x-y| \geqslant \varepsilon \)

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Fast richtig. Beim Negieren passiert das was hinter den Quantoren steht nichts, es werden nur die Quantoren ,,umgedreht".

Hier irgendein dahergezogenes Beispiel $$ \forall x\in \mathbb{N} ~ \exists y<0: x+y=0.$$

Negiert sieht das so aus:

$$ \exists x \in \mathbb{N} ~ \forall y<0:x+y\neq 0$$