Nun noch eine Frage, was genau sagt uns jetzt, dass das Dreieck gleichschenklig ist?
Gute Frage!
Nachdem man fest gestellt hat, dass die Dreiecke \(\triangle BDA\) und \(\triangle BCD\) in zwei Winkeln und einer Seite überein stimme, sind diese beiden Dreieck nach den Konkruenzsätzen (SWW-Satz) kongruent.
'Kongruenz' (mit 'g') bedeutet, dass sich die beiden Dreiecke durch Verschiebung, Drehung und/oder Spiegelung in einander überführen lassen. In diesem speziellen Fall, sind die beiden Dreiecke spiegelverkehrt zu einander. Sie lassen sich durch eine Spiegelung an der Achse \(BD\) in einander überführen.
Das gilt natürlich genauso für die Strecke \(\overline{BA}\), die durch Spiegelung an \(BD\) auf \(\overline{BC}\) abgebildet werden kann. Da bei einer Spiegelung (an einer Geraden oder einem Punkt) die Längen unverändert bleiben, muss \(|BA|=|BC|\) sein. Und somit ist das Dreieck \(\triangle ABC\) gleichschenklig, da die Schenkel \(\overline{BA}\) und \(\overline{BC}\) gleich lang sind.
