Eine Hantel mit Gewichten bestücken

Question

folgende Aufgabe:

 

Das Gewicht einer mit Gewichtsscheiben bestückten Hantel soll möglichst nahe an die 7 kg rankommen. Die Hantelstange wiegt 1 kg. Natürlich müssen beide Seiten mit gleich viel kg an Gewichtsscheiben bestückt sein.

Zur Verfügung stehen

4 mal 0,75 kg Gewichtsscheiben,

4 mal 1,25 kg Gewichtsscheiben,

8 mal 2,5 kg Gewichtsscheiben.

 

Was sind die optimalen Lösungen dieser Aufgabe und wie bestimmt man sie analytisch?

 

Grüße,

Thilo

Answer 1

Hallo Thilo,

 

"Das Gewicht einer mit Gewichtsscheiben bestückten Hantel soll möglichst nahe an die 7 kg rankommen. Die Hantelstange wiegt 1 kg."

Also müssen wir 6 kg gleichmäßig auf die beiden Seiten verteilen.

 

Die optimale Lösung dieser Aufgabe gibt es meiner Meinung nach nicht, es gibt 3 Möglichkeiten der Verteilung, von denen 2 akzeptabel sind:

 

1. Wir bestücken eine Seite mit exakt 3 kg.

Das funktioniert offensichtlich nur, indem wir auf diese Seite 4 mal 0,75 kg = 3 kg packen. Dann bleibt für die andere Seite nur

2,5 kg + 1,25 kg = 3,75 kg oder

2 mal 1,25 kg = 2,5 kg oder

3 mal 1,25 kg = 3,75 kg

Das ist in allen Fällen eine zu große Abweichung vom geforderten Gesamtgewicht von 7 kg insgesamt - nicht akzeptabel - außerdem würden rechts und links unterschiedliche Gewichte aufgelegt!

 

2. Wir bestücken jede Seite mit jeweils 2,75 kg.

Einmal 1,25 kg + zweimal 0,75 kg = 1,25 kg + 1,5 kg = 2,75 kg.

 

3. Wir bestücken jede Seite mit jeweils 3,25 kg.

2,5 kg + 0,75 kg = 3,25 kg.

 

Nicht sehr befriedigend, aber ich sehe nichts Besseres :-(

 

Besten Gruß

Comments

Danke :) Es gibt auch wirklich keine besseren Lösungen. Näher als 6,5 bzw. 7,5 kg kommt man nicht an die 7 kg heran. Ich meinte mit analytisch aber eher rechnerisch. Es sieht mir ja nach Gleichungssystemen aus, aber mit unstetigen Variablen. Wenn es 10 verschiedene Gewichtsscheiben gibt mit jeweils unterschiedlicher Anzahl und man möglichst nahe an 180 kg rankommen will, wird das praktisch unmöglich, durch reines Nachdenken auf die optimale(n) Lösungen zu kommen.

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Ich denke, es handelt sich vielleicht um etwas wie ein diophantisches Gleichungssystem https://de.wikipedia.org/wiki/Diophantische_Gleichung

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@Thilo: Diophantische Gleichungen haben nur ganzzahlige Lösungen. Das Problem ist hier wohl, dass du eine ungefähre Lösung suchst. Das ist ja eher so was wie eine 'diophantische' Ungleichung. Ob's dazu Lösungsmethoden-Standards gibt, weiss ich nicht.

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Ich denke schon, dass man es auf diophantische Gleichungen ( mit Nebenbedingungen ) zurückführen kann:

(a * 0,75 + b * 1,25 + c * 2,5) * 2 + 10 = 70

a*1,5 + b*2,5 + c * 5 + 10 = 70 | * 10

15a + 25b + 50c + 100 = 700

15a + 25b + 50c = 600

mit den Bedingungen, dass 0 <= a < 5, 0 <= b < 5, 0 <= c < 9. Da wird man natürlich keine Lösung finden. Hmm, ja, vielleicht doch eine diophantische Ungleichung mit 15a + 25b + 50c > 600 und 15a + 25b + 50c < 600 und den genannten Nebenbedingungen. Oh, ja denke das ist nicht soo leicht. Muss mich noch weiter informieren über diese Art von Gleichung ^^

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@Lu: Ganzzahlige Lösungen und rationale Lösungen lassen sich isomorph ineinander überführen. Thilo87 benutzt ja keine irrationalen Zahlen.

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In seinem Kommentar hat Thilo87 die Gleichung mit einem gemeinsamen Vielfachen aller Nenner durchmultipliziert, das mindestens so groß wie das kleinste gemeinsame Vielfache aller Nenner ist.

Diese Multiplikation ist der Isomorphismus, da in ℚ alle Elemente invertierbar sind.

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Bin gespannt wie ihr beiden nun weitermacht.

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Das ist leicht gesagt nach einem unsinnigen Beitrag.