Ableitung bestimmen e Funktion

Question

Aufgabe:

f(x) = (x²-1)e^x

^Ableiten

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe hier diese Gleichung vorliegen. Die Ableitung ist

f´(x)=x²+2x-1)*e^x

^{Ich verstehe nicht ganz wie man auf die Lösung kommt. Ich persönlich hätte nun die Produktregel angewendet, dabei kommt jedoch was ganz anderes raus.}

Answer 1

Aloha :)

Das geht am einfachsten mit der Produktregel:$$f'(x)=\left(\,\underbrace{(x^2-1)}_{=u}\,\underbrace{e^x}_{=v}\,\right)'=\underbrace{2x}_{=u'}\,\underbrace{e^x}_{=v}+\underbrace{(x^2-1)}_{=u}\,\underbrace{e^x}_{=v'}=(x^2+2x-1)e^x$$

Comments

Dankeschön, das hatte ich auch raus, in den Lösungen stand es ausgeklammert, das hatte mich verwirrt. Wie genau klammert man aus? :)

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Zuerst die Klammer ausrechnen:$$2x\,e^x+(x^2-1)e^x=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x-1\cdot e^x$$Dann \(e^x\) ausklammern:$$=(2x+x^2-1)\cdot e^x$$und in der Klammer noch umsortieren, damit es "hübsch" aussieht:$$=(x^2+2x-1)\cdot e^x$$

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wie kann ich davon die zweite Ableitung ausrechnen, wenn ich die erste nicht ausklammer? :)

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Die zweite Ableitung machst du auch wieder mit der Produktregel. Dabei ist es aber sehr hilfreich, das \(e^x\) auszuklammern:$$f''(x)=\left(\,\underbrace{(x^2+2x-1)}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}\,\right)'$$$$\phantom{f''(x)}=\underbrace{(2x+2)}_{=u'}\underbrace{e^x}_{=v}+\underbrace{(x^2+2x-1)}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v'}$$$$\phantom{f''(x)}=(2x+2+x^2+2x-1)\cdot e^x$$$$\phantom{f''(x)}=(x^2+4x+1)\cdot e^x$$

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Das mit dem ausklammern verstehe ich leider absolut gar nicht. Ohne dem Ausklammern hätte ich jetzt für die zweite Ableitung folgendes raus:

f´´(x)=2x*(0,5-2x)+2*(0,5x-x²)+(x²-1,5)*(-2)+2x*(0,5-2x)

Wäre das so auch richtig oder kann man das so nicht machen? Ich hab hier wieder die Produktregel angewendet

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In deinem Ergebnis kommt kein \(e^x\) vor, daher kann es nicht richtig sein. Das mit dem Ausklammern ist sehr wichtig. Schau dir doch mal im Netz ein paar Videos zum Thema "Distributivgesetz" an.

MathePeter erklärt das hier sehr schön an Beispielen:

https://www.youtube.com/watch?v=v1w9u7I2uxI

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Danke, ich schaue mir das Video gleich mal an :)

ich habe außerdem nochmal gerechnet und nun folgendes raus:

f´´(x)=(x²-1)*e^x+2x*e^x+(2x)*e^x+2e^x

^{wäre das so auch richtig?}

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Ja, dein Ergebnis ist richtig.

Nur noch nicht ausgeklammert ;)

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Vielen Dank, war mir eine große Hilfe!! Das Ausklammern muss ich definitiv noch üben :D

Answer 2

f(x) = (x^2-1)e^x

f'(x)=2x*e^x + (x^2-1)e^x

Jetzt noch e^x ausklammern:

f'(x)=(2x+x^2-1)*e^x

Umsortieren und du hast das Ergebnis.

:-)

Comments

Als ich das gerechnet habe, hatte ich f´(x)=(2x+1)*e^x+2x*e^x raus, also das gleiche. Also ist es so richtig und nur nicht ausgeklammert? Wäre dann bei

f(x)=(2x+1)*e^x  

f´(x)=2*e^x+(2x+1)*e^x richtig? In den Lösungen steht hierzu nämlich

f´(x)=(3+2x)*e^x wäre meins hier dann auch richtig und nur nicht ausgeklammert? Und wie genau funktioniert das Ausklammern? :)

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Nein, das ist nicht das Gleiche.

Du schreibst, dein Ergebnis sei

\((2x+1)\cdot e^x+2x\cdot e^x\)

Richtig ist

\((x^2-1)\cdot e^x+2x\cdot e^x\)

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Ich hab mich vertipp, tatsächlich hatte ich da auch x^2 stehen :) war eine große Hilfe