Zeigen Sie, dass dies eine eindeutige Abbildungsvorschrift f: ℕ→A definiert.

Question

Aufgabe:

Sei A eine Menge. Weiter sei g: A→A eine Abbildung und a∈A ein fixiertes Element. Wir können eine andere Abbildung f: ℕ→A durch f(1) = a und f(n+1) = g(f(n)) bilden. Zeigen Sie, dass dies eine eindeutige Abbildungsvorschrift f: ℕ→A definiert.

Problem/Ansatz:

Ich weiss nicht wie ich zeigen soll, dass es eine eindeutige Abbildungsvorschrift f: ℕ→A definiert.

Answer 1

Beweis durch vollst. Induktion:

Es ist zu zeigen: Für alle n∈ℕ gibt es genau ein y∈A mit f(n)=y.

Für n=1 ist dies durch f(1)=a erfüllt.

Wenn es für ein n gilt, dann ist also f(n) ein eindeutig bestimmtes y.

==> Nach Def. von f:      f(n+1) = g(y) und

da g eine Abbildung ist und y ∈ A ist g(y) eindeutig bestimmt.

Dieses g(y) ist also das eindeutig bestimmte Bild von n+1.