Ich hab da komplexe Nullstellen raus, aber kann ich da nicht einfach x^3 +1 stehen lassen und im Ansatz für die …

Question

Aufgabe:

Für die Partialbruchzerlegung von x^5 +x -1/ (x^3 +1) wollte ich x^3 +1 in die Linearfaktoren zerlegen, aber ich komm da nicht auf eine Lösung.

Problem/Ansatz:

Ich hab da komplexe Nullstellen raus, aber kann ich da nicht einfach x^3 +1 stehen lassen und im Ansatz für die Partialbruchzerlegung einen quadratischen Term nutzen?

Answer 1

Hallo,

Im ersten Schritt würde ich zunächst den 'ganzzahligen' Teil des Bruchs isolieren. Es ist $$(x^{5} +x -1) \div (x^3+1 ) = x^2 + \frac{-x^2 + x - 1}{x^3 + 1} $$Und den Term \(x^3 +1\) kann man immerhin in zwei Faktoren zerlegen$$x^3+1= (x+1)(x^2 - x + 1)$$dann ist der Ansatz für den verbleibenden Bruch$$\begin{aligned} \frac{-x^2 + x - 1 }{ x^{3} +1} &= \frac A{x+1} + \frac {Bx + C}{x^2 - x + 1} \\ -x^2 + x - 1  &= Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + (B+C)x + C \\ -x^2 + x - 1  &= (A+B)x^2 + (B+C- A)x + (A + C) \end{aligned}$$und aus dem Koeffizientenvergleich folgt$$\begin{aligned} A+ B &= -1 \\ B+C- A &= 1 \\ A + C &= -1 \end{aligned}$$ mit der Lösung $$A=-1, \quad B=0, \quad \quad C=0$$Upps! - jetzt habe ich glatt übersehen, dass ... $$\frac{-x^2 + x - 1}{x^3 + 1} = \frac{-x^2 + x - 1}{ (x+1)(x^2 - x + 1)} = \frac{-1}{x+1}$$ ... man das kürzen kann. Es verbleibt also:$$\frac{x^{5} +x -1}{x^3+1} = x^2 - \frac 1{x+1} $$

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Jaa genau, die Zerlegung von x^3 +1 ist mir schwer gefallen.

Super, genau das habe ich gebraucht, den Rest verstehe ich auch auf anhieb :)

Answer 2

(x^5 + x - 1)/(x^3 + 1) = (x^2) R (- x^2 + x - 1)

(x^3 + 1)/(- x^2 + x - 1) = (-x - 1) R 0

Der GGT ist hier (- x^2 + x - 1) oder (x^2 - x + 1)

(x^5 + x - 1)/(x^2 - x + 1) = x^3 + x^2 - 1

(x^3 + 1)/(x^2 - x + 1) = x + 1

Du kannst dein Bruch also durch den GGT kürzen

(x^5 + x - 1)/(x^3 + 1) = (x^3 + x^2 - 1)/(x + 1)

Damit kannst du jetzt bestimmt besser arbeiten. Damit es noch einfacher wird würde ich eine Polynomdivision anschließen

(x^3 + x^2 - 1)/(x + 1) = x^2 - 1/(x + 1)

Na das sieht doch dann schon richtig einfach aus.

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Vielen dank, hilft mir sehr weiter :)

Answer 3

Ich hab da komplexe Nullstellen raus

Richtig, 1/2 - (√3)/2 i und 1/2 + (√3)/2 i.

aber kann ich da nicht einfach x3 +1 stehen lassen

Nein. Die Nenner der Partialbruchzerlegung haben die Form (x - x₀)ⁿ wobei x₀ eine m-fache Nullstelle von x³ + 1 ist und und n ∈ ℕ mit n ≤ m ist.

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Ok das habe ich mir schon gedacht, danke für die Bestätigungen :)