Wir haben hier eigentlich zwei Funktionen:$$f(x)=\ln(\,g(x)\,)\quad;\quad g(x)=\sqrt x$$Die Ableitung nach \(x\) gemäß der Kettenregel geht so:$$\frac{df}{dx}=\underbrace{\frac{df}{dg}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{\frac{dg}{dx}}_{=\text{innere}}$$Du leitest \(f\) also nicht nach \(x\) ab, sondern tust so, als wäre die Funktion \(g(x)=\sqrt x\) eine Variable, z.B. \(g\). Die Abeitung ist dann:$$\frac{df}{dg}=\frac{d}{dg}\left(\ln(g)\right)=\frac{1}{g}=\frac{1}{\sqrt x}$$Du behandelst die innere Funktion \(g(x)\) eigentlich wie eine Hilfsvariable, nach der du ableitest. Nach dem Abeliten musst du für diese Hilfsvariable wieder die Funktion einsetzen. Anschließend muss dann noch mit der Ableitung von \(g(x)=\sqrt x\), also mit \(\frac{1}{2\sqrt x}\) multipliziert werden:$$\frac{df}{dx}=\underbrace{\overbrace{\frac{df}{dg}}^{=\text{äußere}}}_{=\frac{1}{g}}\cdot\underbrace{\overbrace{\frac{dg}{dx}}^{=\text{innere}}}_{=\frac{1}{2\sqrt x}}=\frac{1}{g}\cdot\frac{1}{2\sqrt x}=\frac{1}{\sqrt x}\cdot\frac{1}{2\sqrt x}=\frac{1}{2x}$$
