Wie kommt man auf die Summe? Nullstelle berechnen

Question

Aufgabe:

Nullstelle von: 4x^3-24x^2-196

Problem/Ansatz:

Nach dem Ausklammern: 4(x^3-6x^2-49) soll die Summe aus -6x^2 = -7x^2 + x^2 sein.

Wie kommt man auf diese Summe?

Danach sieht das so aus: 4(x^3-7x^2+x^2-49)

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

-6=-7+1

x^3-7x^2+x^2-49

=x^2*(x-7)+(x+7)*(x-7)

=(x^2+x+7)*(x-7)=0

x^2+x+7=0 oder x=7

x=7 ist die einzige reelle Lösung.

:-)

Comments

Ich glaube es ist mir jetzt klar. :)

Danke Dir!!

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Gern geschehen.

:-)

Answer 2

Hallo.,

Nullstellen bestimen

0= 4x³-24x²-196      | 4 ausklammern

0= 4 (x³ -6x² -49)

0= x³-6x² -49        | Polynomdivision mit (x-7) durchführen

0= (x-7) *(x²+x+7)                         erste Lösung x= 7

0= x² +x+7    

x_1,2  =  -1/2 ±√( (-1/2)² -7)      Diskrimante ist negativ , nicht lösbar, nur im Imaginären Zahlenraum,

Answer 3

Aloha :)

$$f(x)=4x^3-24x^2-196=4(x^3-6x^2-49)$$Bei einem Polynom wie dem eingeklammerten müssen alle ganzzahligen Lösungen die Zahl onhe \(x\) teilen. Die Zahl ohne \(x\) ist die \(49\). Ihre Teiler sind \(\pm1,\pm7\pm49\). Wir probieren diese 6 Kandidaten als Nullstellen durch und finden eine Nullstelle bei \(x=7\). Wir können daher das eingeklammerte Polynom durch \(x-7\) dividieren und finden als Darstellung:$$f(x)=4(x-7)(x^2+x+7)$$Wegen$$x^2+x+7=x^2+x+\frac{28}{4}=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{27}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{27}{4}>0$$hat das verbliebene quadratische Polynom keine weiteren Nullstellen.

Die einzige reelle Nullstelle ist also bei \(x=7\).

Answer 4

4·x^3 - 24·x^2 - 196 = 0

durch 4 teilen

x^3 - 6·x^2 - 49 = 0 → Ganzzahlige Nullstellen sind Teiler von 49. Gefunden x = 7

Polynomdivision oder horner Schema

(x^3 - 6·x^2 - 49) / (x - 7) = x^2 + x + 7

pq-Formel

x = - 1/2 ± √(1/4 - 7) → Keine weiteren reellen Nullstellen.

Answer 5

X=7 raten oder

http://arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

Oder x=y+2 substituieren

Und dann weiter mit

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Comments

Inzwischen kann jeder bessere Taschenrechner kubische Gleichungen lösen. Ich empfehle also Schülern mit dem Taschenrechner die erste Nullstelle zu "raten" soweit ganzzahlig :)

Ansonsten sind viele Taschenrechner auch in der Lage eine Wertetabelle zu machen. Wertetabellen im Bereich von -10 bis +10 bieten sich dabei an.

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Raten, war die erste Idee. 7, 49, das lag ja nah.

Da das aber nicht immer offensichtlich ist, ist die schnelle Lösung Arndt Brünner und wer gerne selbst viel rechnen will, macht es über die Substitution und dann weiter wie Tartaglia. (Mit der Idee, das sich der kleine Kubus zwischen den Schenkeln und dem Kopf befindet, schafften es auch seine Euklidschüler.)

Wie schon öfter gesagt, benutze ich den Taschenrechner des Smartphones und da habe ich noch keine Funktion gefunden, die kubische Gleichung zu lösen.

Wenn ein besserer Taschenrechner aber die kubische Gleichung lösen kann, warum soll dann der erste Wert noch geraten werden, das verstehe ich nicht.

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Weil Lehrer oft die Reduktion um die Nullstelle sehen wollen. Und weil der Taschenrechner sonst eventuell nur numerische Lösungen angibt. und keine Wurzeln mehr.

Auch gibt ein Taschenrechner oft nicht an ob und welche Lösung denn eventuell eine doppelte Nullstelle ist.

Außerdem sollen ja die Schüler auch noch etwas lernen :)

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Es gab mal eine Nachricht, da war Bremen in der Führungsgruppe bei der Digitalisierung. Dann gab es eine Nachricht, dass Bremen im Fach Mathematik ganz schlecht abgeschnitten hat.

Vermutlich durften die Hilfsmittel beim Vergleich in Mathematik nicht eingesetzt werden.

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Das sind doch zwei verschiedene Dinge. Da müsste man erstmal prüfen ob die Abhängig oder Unabhängig sind und wenn sie Abhängig sind ob positiv oder negativ.

Ein Land welches sehr gut in der Digitalisierung ist, deren Schüler aber nicht digital lernen können, können kläglich versagen :)

Es gibt viele Gründe warum die Digitalisierung fehlschlägt. In Deutschland müsste die Digitalisierung von oben kommen. Da Bildungspolitik Ländersache ist und viele Projekte Schulsache kocht jeder so sein eigenes Süppchen.

Was richtig wahres kann daraus wohl nicht werden.

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Wie gut der Förderalismus aber ist, haben wir im Kampf gegen Corona erlebt. Wenn es nach dem Bund und Herrn Spahn gegangen wäre, hätten wir keine Maskenpflicht bekommen. Erst die Länder haben die nötigen Verordnungen erlassen.

Wenn eine zentral beschlossene Sache schlecht ist, dann gibt es kein Entrinnen. Das ist vergleichbar mit dem Mittelwert, wenn die Werte abhängig sind, ist die Aussage nicht viel wert.