Aloha :)
Beim System A ist die Determinante aus den Koeffizienten der Unbekannten gleich \(0\)$$\left|\begin{array}{r}1 & 1 & 2\\-1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right|=0$$Daher hat System A keine eindeutige Lösung. Das heißt, es hat entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Wenn wir die 1-te Gleichung zu der 2-ten Gleichung addieren$$\begin{array}{r}x & y & z & =\\\hline1 & 1 & 2 & 13\\-1 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1 & 7\end{array}\qquad\to\qquad\begin{array}{r}x & y & z & =\\\hline1 & 1 & 2 & 13\\0 & 2 & 2 & 14\\0 & 1 & 1 & 7\end{array}$$finden wir, dass die 2-te und 3-te Gleichung äquivalent sind. Daher können wir mindestens 1 Variable \(x\), \(y\) oder \(z\) frei wählen. Das heißt, das System hat unendlich viele Lösungen.
Beim Sytem B haben wir wieder den Fall, dass die Determnante aus den Koeffizienten der Unbekannten gleich \(0\) ist. Es gibt also wieder keine eindeutige Lösung. Wenn wir die 1-te Zeile wieder zur 2-ten addieren erhalten wir nun:$$\begin{array}{r}x & y & z & =\\\hline1 & 1 & 2 & 13\\-1 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1 & 7\end{array}\qquad\to\qquad\begin{array}{r}x & y & z & =\\\hline1 & 1 & 2 & 13\\0 & 2 & 2 & 14\\0 & 1 & 1 & 4\end{array}$$und stellen fest, dass die 2-te Gleichung und die 3-te Gleichung sich gegenseitig widersprechen.$$2y+2z=14\quad\Leftrightarrow\quad y+z=7\qquad\land\qquad y+z=4$$Beide Gleichungen können nicht gemeinsam gelöst werden. Daher hat das System B keine Lösung.
