Summe 3er aufeinanderfolgender Kuben, Annahme:einziger kubischer Ausdruck ist 3³+4³+5³=6³;falls richtig,wie beweisen?

Question

fortlauf.Sum.3er aufeinanderfolg.Kuben, Annahme:einziger kubischer Ausdruck ist 3³+4³+5³=6³;falls richtig,wie beweisen?

Die Differenzbeträge immer größerer 2er überübernächster quadrierter Dreieckszahlen entsprechen den fortlauf.Summen 3er aufeinanderfolg.Kuben,- Annahme:einziger kubische Ausduck ist 15²-3²=3³+4³+5³=6³; falls richtig, wie kann man das beweisen?

216=6³ ist auch ein Differenzbetrag 2er übernächster 3er Potenzen, 3⁵-3³=6³, aber diese kubische Lösung ist natürlich nicht diskret.

In OEIS A027602, wo die Folge der Ausdrücke immer weiterer 3er zu summierender  Kuben gezeigt wird, wird im Kommentar auf den kubischen Fall 216 hingewiesen.

Ist aber 15²-3²=3³+4³+5³=6³ die einzige kubische Lösung dieser Art?

Comments

Die ursprüngliche Aussage des Fragestellers 15³-3²=3³+4³+5³=6³ ist falsch (15³-3²≠6³).

Sie wird wahr, wenn 15³ durch 15² ersetzt wird. Da auch aus der verbalen Beschreibung hervorgeht, dass der Fragesteller dies gemeint hat, habe ich seine Frage entsprechend korrigiert.
Außerdem habe ich die Exponenten etwas lesbarer formatiert.

Answer 1

Ich hoffe, dass ich die Problematik richtig verstanden habe und versuche mal einen Beweis:

 

Sei Δ_n die n-te Dreieckszahl. 

Behauptung:

Das Tupel ( a = 3, n = 2 ) ist die einzige Lösung der Gleichung

Δ_n+3² - Δ_n² = a³ + ( a + 1 )³ + ( a + 2 )³ = ( a + 3 )³

Beweis:

Die n-te Dreieckszahl Δ_n kann beschrieben werden als

Δ_n = n * ( n + 1 ) / 2

Die genannte Gleichung lautet dann:

( ( n + 3 )  * ( n + 4 ) / 2 ) ² - ( n * ( n + 1 ) / 2 ) ² = a³ + ( a + 1 )³ + ( a + 2 )³ = ( a + 3 )³

 

Schaut man sich den zweiten Teil dieser Gleichungskette an:

a³ + ( a + 1 )³ + ( a + 2 )³ = ( a + 3 )³

so erhält man durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen:

<=> a ³ - 6 a - 9 = 0

und daraus durch "Raten" einer Nullstelle ( a = 3 ) und Polynomdivision:

<=> ( a - 3 ) * ( a ² + 3 a + 3 ) = 0

Die einzige reelle Lösung dieser Gleichung ist

a = 3

da die Gleichung a ² + 3 a + 3 = 0 keine reelle Lösung hat.

 

Schaut man sich den ersten Teil dieser Gleichungskette an:

( ( n + 3 )  * ( n + 4 ) / 2 ) ² - ( n * ( n + 1 ) / 2 ) ² = a³ + ( a + 1 )³ + ( a + 2 )³

und setzt a = 3

so erhält man durch Ausmultipizieren und Zusammenfassen:

<=> n ³ + 6 n ² + 14 n - 60 = 0

Durch "Raten" einer Nullstelle ( n = 2 ) und Polynomdivision erhält man daraus:

<=> ( n - 2 ) * ( n ² + 8 n + 30 ) = 0

Die einzige reelle Lösung dieser Gleichung ist

n = 2

da die Gleichung n ² + 8 n + 30 = 0 keine reelle Lösung hat.

 

Also ist das Tupel ( a = 3 , n = 2 ) die einzige Lösung der Gleichung

Δ_n+3² - Δ_n² = a³ + ( a + 1 )³ + ( a + 2 )³ = ( a + 3 )³

q.e.d.

 

"Abfallprodukt":

Die Gleichung

Δ_n+3² - Δ_n² = a³ + ( a + 1 )³ + ( a + 2 )³

gilt für alle natürlichen Zahlen a, n mit n = a - 1

Comments

Vielen Dank für die mir sehr nützliche Antwort!" Ich kam in dieses 'Forum' mit einer ersten Frage am 24.Okt.2013 mit der Überschrift " fortlaufende Summen immer größerer, je 2er aufeinanderfolgender Pyramidenzahlen (2·(253+325)=506+650=1152=34²)" [nota: es sind quadratische Pyramidenzahlen gemeint], wobei es zur Lösung der dortigen Frage,-- nämlich ob möglicherweise diese Summe 2er aufeinanderfolgender (quadr.) Pyramidenzahlen (11. u.12. Pyramidenzahlen), außer trivial, die einzige mit einer quadratischen Lösung ist,-- wahrscheinlich der Zusammenhang mit dem Pellschen Fall 2³·6²+1=17² --> 2⁵  ·6²+4=34² vielversprechend ist. Denn betrachtet man (Annahme), dass möglicherweise die einzigen beiden ger. quadratischen Dreieckszahlen, die sich in der Form a³+(a+1)³+(a+2)³=n³ darstellen lassen (die ger. quadratischen Dreieckszahlen sind immer 36er Zahlen und haben etwas mit der Primzahl 17, bzw. der 34 zu tun, gleichzeitig sind auch die Summen 3er aufeinanderfolgender Kuben, deren kleinste ung. sind, immer 36er Zahlen) 36 u.41616=204²=6²·34² sind, dann gilt im besonderen 41616=23³  +24 ³ +25³=  325²-253²=6²·34² . (Annahme: Unter den Summen immer weiterer 3er aufeinanderfolgender Kuben gibt es genau 2 quadratische Ausdrücke, und diese stellen die ersten beiden nichttrivialen ger. quadratischen Dreieckszahlen 6²,204²dar. Falls die Annahme stimmt, wie kann man sie beweisen?)

---

Hallo Michael:

Am besten gibst du den Link zu deiner Frage an. Versuche sie via Suche wiederzufinden. Du kannst dann dort deine Ergänzungen anbringen. Vielleicht hat ja schon jemand geantwortet(?)

Sehe gerade, dass du damals noch was angefügt hattest. Vielleicht hat JotEs Zeit was zu ergänzen bei https://www.mathelounge.de/63493/annahme-folge-genau-zwei-quadr-ausdrucke-geben-3²·5²-9²·12²

---

Hallo Lu.

Ok. Hab gerade die hier schon betrachtete Annahme als Fragestellung eingestellt :"fortlauf.Sum.3er adiac.Kuben,Beh.:die einzig.quadr.Lös.:1³+2³+3³=6² u.23²+24²+25²=325²-253²=204²;richtig?

Answer 2

Hallo fortlauf

kein Grund um fort zu laufen :-)

3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3 ist der dichteste Fall eines nicht-trivialen Tupels der Form a^3+b^3+c^3=d^3 mit a,b,c,,d € Z

eine kubische Gleichung der Form x^3 + (x+1)^3 +(x+2)^3 -(x+3)^3 = 0 hat als einzige reelle Lösung x=3, was direkt zum obigen Tupel führt

der Beweis kann also zurückgeführt werden auf die seit Jahrhunderten bekannten Beweise, die es zu den verschiedenen Fällen der kubischen Gleichung gibt.

Es ist zwar einige Zeit vergangen, seit die Frage aufgeworfen wurde, bin mal gespannt, wer sich noch dafür interessieren wird.