Begründen Sie Ihre Antwort.

Question

Aufgabe:

Seien \( V_{1} \) und \( V_{2} \) echte Unterräume des \( \mathbb{R}^{6}, \) also \( V_{1} \varsubsetneqq \mathbb{R}^{6}, V_{2} \varsubsetneqq \mathbb{R}^{6} \). Es sei \( \operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=4 \) und \( \operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=6 \)
Ist es wahr, dass dann immer \( \operatorname{dim}\left(V_{1}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{2}\right) \) gilt? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Es muss ja irgendwie mit der Dimensions-Formel zusammenhängen, aber es beide Dimensionen ergeben ja 10 und nicht 6.

Answer 1

Es ist wahr. Beweis durch Widerspruch.

Es ist dim V₁ ≥ 4 und dim V₂ ≥ 4 wegen V₁∩ V₂ ⊂ V₁, V₂.

Sei o.B.d.A dim V₁ < dim V₂.

Dann ist dim V₁ = 4 und dim V₂ = 5 wegen dim V₂ < 6.

Also ist V₁ ≤ V₂. also V₁ + V₂ = V₂. Das ist ein Widerspruch zu dim (V₁ + V₂) = 6.