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Aufgabe:

Es wird die Menge ℤ[√2] := {a + 2b | a, b ∈ ℤ} betrachtet.

(1) Zeigen Sie, dass ℤ[√2] einen Unterring des Körpers (R, +, ·) bildet.
(2) Ist (ℤ[√2], +, ·) ein Integritätsring? Begründen Sie Ihre Antwort!


Problem/Ansatz:

Was bedeutet diese Schreibweise ℤ[√2] ?

Und wie beweise ich am besten, ob es ein Unterring ist?

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1 Antwort

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Die Schreibweise \( \mathbb{Z} [ \sqrt{2} ] \) bedeutet, dass du Zahlen der Form \( a+\sqrt{2} b \) betrachtest, wobei a und b ganze Zahlen sind, also du den Ring der ganzen Zahlen durch das Element Wurzel 2 erweiterst.

Um zu zeigen, dass ein eine Menge mit + und * ein Unterring ist, geht am besten mit dem Unterringkriterium.
Also zeige, dass die Menge eine Nichtleereteilmenge von $$\mathbb R$$ ist, die das neutrale Element (1) beinhält, abgeschlossen unter Multiplikation ist $$\forall a,b \in \mathbb Z[\sqrt{2}] : a \cdot b \in \mathbb Z[\sqrt{2}] $$ und

$$\forall a,b \in \mathbb Z[\sqrt{2}] : a - b \in \mathbb Z[\sqrt{2}] $$ gilt.

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