Die Schreibweise \( \mathbb{Z} [ \sqrt{2} ] \) bedeutet, dass du Zahlen der Form \( a+\sqrt{2} b \) betrachtest, wobei a und b ganze Zahlen sind, also du den Ring der ganzen Zahlen durch das Element Wurzel 2 erweiterst.
Um zu zeigen, dass ein eine Menge mit + und * ein Unterring ist, geht am besten mit dem Unterringkriterium.
Also zeige, dass die Menge eine Nichtleereteilmenge von $$\mathbb R$$ ist, die das neutrale Element (1) beinhält, abgeschlossen unter Multiplikation ist $$\forall a,b \in \mathbb Z[\sqrt{2}] : a \cdot b \in \mathbb Z[\sqrt{2}] $$ und
$$\forall a,b \in \mathbb Z[\sqrt{2}] : a - b \in \mathbb Z[\sqrt{2}] $$ gilt.
