Lösung der Gleichung: f(x):= -x^4 + 6x^2 - 5

Question

Servus Leute,

es ist Weihnachten und da gibt es doch nichts besseres als Mathematik, oder? :)

Ich hänge gerade an einer Aufgabe die ich im Titel genannt habe.

Folgendes habe ich errechnet:

Y-Achsenschnittpunkt (für x -> 0 einsetzen) daraus folgt -5 (korrekt?)
Und für X-Achenschnittpunkte muss man die Gleichung = 0 setzen. (korrekt?)

Das habe ich gemacht und die Gleichung mal -1 genommen damit x^4 positiv wird um die Gleichung jetzt zu substitionieren. Bedeutet: x^2 = z

Dann sieht das so aus: z^2 - 6z + 5 = 0

Durch anwenden der PQ-Formel erhalte ich für z1,2  = + 1, - 1 und für z3,4 = + 5, - 5. Jedoch stimmen laut meinem GTR die +- 5 nicht und wollte an dieser Stelle fragen, was mein Fehler machen? Ein weitere Frage ist, wie man richtig zurücksubsituiert? Also wann muss ich die Werte MAL oder GETEILT nehmen?

Gruß und allen noch eine schöne restliche Weihnachtszeit :)

Answer 1

 

bis z² - 6z + 5 = 0 hast Du alles richtig gemacht, auch den y-Achsenabschnitt korrekt bestimmt!

pq-Formel:

z_1,2 = 3 ± √(9 - 5) = 3 ± 2

z₁ = 5 | Hier hast Du offensichtlich einen Fehler gemacht: -5 ist keine Lösung dieser Gleichung!

z₂ = 1

Rücksubstituieren:

x₁ = √5

x₂ = -√5

x₃ = 1

x₄ = -1

 

Manchmal bekommt man durch die Substitution und Rücksubstitution auch ungültige Ergebnisse, deshalb ist es meiner Meinung nach nötig, die Probe zu machen:

 

- x⁴ + 6x² - 5 = 0

- (√5)⁴ + 6 * (√5)² - 5 = - 25 + 30 - 5 = 0

- (-√5)⁴ + 6 * (-√5)² - 5 = - 25 + 30 - 5 = 0

- 1⁴ + 6 * 1² - 5 = - 1 + 6 - 5 = 0

- (-1)⁴ + 6 * (-1)² - 5 = - 1 + 6 - 5 = 0

 

Alles klar?

 

Besten Gruß

Answer 2

z² - 6z + 5 = 0         |Alternative zur pq-Formel: Scharf hinsehen und Faktorisieren.

(z-1)(z-5) = 0

z1 = 1 ==> x1,2 = ±1

z₂=5 ==> x_3,4 = ± √5

Rücksubst:

1=x^2 ==> x= ±√1 = ±1

5=x^2 ==> x= ±√5