Wie sind bei der Funktion f die Parameter a und b zu wählen?

Question

Aufgabe:

Wie sind bei der Funktion f mit f(x)=( x²-a)/(e^(x-b)) die Parameter a und b zu wählen, damit f die angegeben Eigenschaften hat?

a) f hat die Nullstellen -2 und 2, der Graph schneidet die y-Achse in (0|-8).

b) f hat keine Nullstellen und es gilt f(-2)<1.

c) Der Graph von f hat eine waagrechte Asymptote  y=0

d) f ist streng monoton fallend

e) es gilt f‘(1/2)=f(1/2)=1/2

Answer 1

f(x) = (x^2 - a)/e^(x - b)

a) f hat die Nullstellen -2 und 2, der Graph schneidet die y-Achse in (0|-8).

f(0) = -8 --> - a·e^b = -8
f(2) = 0 --> 4 - a = 0

a = 4 ∧ b = - LN(2)

b) f hat keine Nullstellen und es gilt f(-2)<1.

z.B. a = -1 ∧ b < -4

c) Der Graph von f hat eine waagrechte Asymptote y=0

Hat f nicht immer eine waagerechte Asymptote y = 0

d) f ist streng monoton fallend

f'(x) = -(x^2 - 2·x - a)/e^(x - b) ≤ 0 → a ≥ -4

e) es gilt f‘(1/2)=f(1/2)=1/2

a = - 1/4 ∧ b = 1/2