Ermittle eine quadratische Funktion

Question

Aufgabe:

Ermittle eine quadratische Funktion , die die gleichen Nullstellen wie f(x) =  - x^2 - 4x besitzt und die mit der x-Achse eine Fläche von 32 FE einschließt.

Problem/Ansatz:

wie kommt man auf so etwas drauf

Answer 1

f(x) = -x^2 - 4·x = - x·(x + 4)

Nullstellen bei -4 und 0

F(x) = -1/3·x^3 - 2·x^2

∫ (-4 bis 0) f(x) dx = F(0) - F(-4) = - (-1/3·(-4)^3 - 2·(-4)^2) = 32/3

Wir wollen eine Fläche haben die dreimal so groß ist, daher strecken wir die Funktion f mit dem Faktor 3

g(x) = -3·x^2 - 12·x

Answer 2

0=-1*x²-4*x dividiert durch -1

0=x²+4*x hat die gemischtquadratische Form mit q=0 → 0=x²+p*x Nullstellen bei x1=0 und x2=-p

Nst.: x1=0 und x2=-(4)=4

Dies sind die Integrationsgrenzen,obere Grenze xo=0 und untere Grenze xu=0

allgemeine Form der Parabel y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao mit f(0)=0=....+ao → ao=0

bleibt f(x)=a2*x²+a1*x integriert

F(x)=∫(a2*x²+a1*x)*dx=a2*∫x²*dx+a1*∫x*dx

F(x)=a2/3*x³+a1/2*x²+C

Fläche soll sein A=32=(a2/3*xo³+a1/2*xo²) -(a2/3*xu³+a1/2*xu²)  mit xo=0 und xu=-4

1) 32=-a2/3*xu³+a1/2*xu²

2) f(xu)=0=a2*xu²+a1*xu → a1=-a2*xu²

Das ist ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit den Unbekannten,a2 und a1 und 2 Gleichungen,also lösbar.

Den Rest schaffst du selber

Comments

x2=-(4)=4

obere Grenze xo=0 und untere Grenze xu=0

Warum das denn?

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is ein Tippfehler,natürlich xo=0 und xu=-4

Answer 3

Ermittle eine quadratische Funktion , die die gleichen Nullstellen wie f(x) =  - x^2 - 4x besitzt und die mit der x-Achse eine Fläche von 32 FE einschließt.

Zunächst muß man wissen das
f (x) =  a * (- x^2 - 4x ) dieselben Nullstellen hat wie oben
f ( 0 ) = 0  => a * f ( 0 ) = 0
f ( -4 ) = 0  => a * f ( -4 ) = 0

Stammfunktion
S ( x ) = a * ( - x^3 / 3 - 4x^2/2 )

gesucht ist
[ S ] zwischen x= -4  und x=0 soll 32 sein
a * [ ( - (0)^3 / 3 - 4(0)^2/2 ) - ( - (-4)^3 / 3 - 4(-4)^2/2 ) ] = 32
a * [  + (-4)^3 / 3 + 4(-4)^2/2  ] = 32
a * 32 / 3 = 32
a = 3